Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ

Сфера называется описанной около конуса, если на ней лежат вершина и окружность основания конуса (рис. 5). Около конуса всегда можно описать сферу; её радиус равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса. Усечённый конус называется вписанным в шар, если его основания являются сечениями поверхности шара.

2 Примеры олимпиадных заданий

2.1 Примеры олимпиадных

заданий с пирамидой

Рис.6

Пример 1. В треугольной пирамиде SАВС ребро ВС равно а, АВ=АС, ребро SА перпендикулярно к основанию АВС пирамиды, двугранный угол при ребре SА равен 2α, а при ребре ВС равен β (рис. 6). Найти радиус описанного шара.

Решение. Рассмотрим пирамиду SАВС, о которой идет речь в условии задачи. Поскольку ребро SA перпендикулярно к плоскости основания, то ВАS=CAS = 90°, а потому угол ВАС как раз и является линейным углом двугранного угла при ребре SA. Таким образом, в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом 2α при вершине, а высота пирамиды совпадает с ребром SА.

Так как проекции боковых ребер SB и SС на плоскость основания равны, то и сами эти ребра равны. Поэтому грань ВSС — равнобедренный треугольник, и его высота, опущенная из вершины S, попадает в середину К ребра ВС. По теореме о трех перпендикулярах АК — высота треугольника ВАС. Отсюда ясно, что угол SКА — линейный угол двугранного угла при ребре ВС, т. е. SКА = β.

Центр описанного шара лежит на пересечении прямой l, перпендикулярной к плоскости ВSС и проходящей через центр окружности, описанной около треугольника ВSС, с плоскостью, проходящей через середину ребра АS перпендикулярно к нему. Прямая l лежит в плоскости АSК: в самом деле, плоскость ВSС проходит через прямую ВС, перпендикулярную к плоскости АSК, т. е. плоскости ВSС и АSК перпендикулярны; в то же время прямая l перпендикулярна к плоскости ВSС и проходит через линию пересечения этих плоскостей, так что она лежит в плоскости АSК.

Итак, центр шара лежит в плоскости АSК. Вынесем эту плоскость на специальный чертеж. Центр шара О будет тогда лежать на пересечении прямой l и прямой m, перпендикулярной к АS и проходящей через его середину. Но, вообще говоря, могут представиться три возможности: прямые l и т пересекаются внутри, или вне треугольника АSК или на его стороне, и нам придется рассмотреть все эти возможности (см. рис. 7, 8, 9). Ниже, в ходе выкладок, мы покажем, что две из них на самом деле не осуществляются. Нас интересует радиус R описанного шара, т.е. расстояние от точки О — точки пересечения перпендикуляров т и l к сторонам угла КSА — до точки S, вершины этого угла. Прежде всего отыщем SL — проекцию искомого расстояния на сторону SK треугольника KAS. Так как в треугольнике АКB (рис. 6) нам известен катет ВК=а и угол КАВ = α, то АК=а ctg α.

Рис. 7

Рис.8

Далее, из треугольника КАS имеем

SK=.

Так как L — центр описанной около треугольника ВSС окружности, то LS=LВ, a потому из треугольника ВКL находим, что (SК-SL)2+КВ2=ВL2, т. е.

SL=.

Отметив, что проведенные вычисления отрезка SL никак не зависели от местоположения центра О описанного шара, вернемся к рис. 7, 8, 9. Обозначим через N точку пересечения прямой m со стороной SК. Ясно, что прямые l и т пересекаются вне треугольника КАS, если SN<SL (рис. 8); если же SN > SL, то точка О лежит внутри этого треугольника (рис. 7); наконец, если SN = SL, то точка О лежит на стороне SК этого треугольника (рис. 9). Выясним, какое из этих положений имеет место на самом деле.

Рис.9

Так как МN — средняя линия треугольника КАS, то SN = SК. Сравнивая длины отрезков SN и SL, без труда докажем, что при любых а, α и

β

(из геометрических соображений следует, что а > 0, 0° < < 90° и 0° < β < 90°). Следовательно, каковы бы ни были размеры а, α и β пирамиды SАВС, центр О описанного шара всегда лежит вне пирамиды. Это в свою очередь означает, что вынесенная нами плоская конфигурация в плоскости КАS может иметь лишь вид, указанный на рис 8; расположения, изображенные на рис. 7 и 9, в действительности иметь места не могут. Рассматривая рис. 8, легко покажем, что = β, а потому LO = NL tgβ = (SL—SN)tgβ. Подставляя сюда полученные выше выражения для SL и SN, получаем после очевидных вычислений:

LО = а tgαsinβ.

Наконец, из прямоугольного треугольника ОLS находим

R = =.

Как видим, выкладки в задаче оказались простыми — главная трудность решения лежит в рассуждениях, устанавливающих положение центра описанного шара.

Ответ: R = .

Пример 2. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом  при вершине. Найти объем пирамиды, а также боковую поверхность конуса, описанного около указанной пирамиды.

Рис.10

Решение. Пусть сторона основания пирамиды равна a, радиус основания конуса, описанного около этой пирамиды равен r, тогда (рис. 10). Грани пирамиды – равнобедренные треугольники. Тогда DK – высота, медиана и биссектриса ABD. Из прямоугольного треугольника ADK имеем . Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника AOD:

, .

 Скачать реферат