Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ

или .

Ответ:

Рис. 31

Пример 3. В шар вписан конус, образующая которо

го равна диаметру основания (рис 31). Найти отношение поверхности конуса к поверхности шара.

Решение. Изобразим осевое сечение конуса, которое пройдет через центр шара. Так как диаметр основания конуса равен образующей, то в сечении получим правильный треугольник, вписанный в окружность (рис. 31). Пусть радиус шара равен R: тогда

АВ = R , АD =

Обозначим полную поверхность конуса через S1, а поверхность шара через S2. Имеем

откуда S1: S 2 = 9:16.

Ответ: S1: S 2 = 9:16.

Заключение

В процессе исследования мы выяснили, что задачи с описанной сферой достаточно часто предлагаются школьникам на ЕГЭ, поэтому умение решать задачи данного типа играет немало важную роль в успешной сдаче экзаменов. Так же задачи с описанной сферой часто встречаются на олимпиадах по математике различного уровня. Соответствующие примеры приведены в нашей работе. На данном этапе мы ограничились рассмотрением задач на комбинацию описанной сферы с пирамидой, призмой, цилиндром, конусом. Подобраны задачи для самостоятельной работы. В процессе выполнения работы нами были использованы следующие методы: работа с научной и научно-популярной литературой, сбор информации в сети Internet, анализ, систематизация, классификация и обработка на компьютере. В настоящий момент результаты представлены в виде реферата. В дальнейшем планируется дополнить работу новыми задачами.

Список литературы

1. Абрамович М.И., Стародубцев М.Т. Математика (геометрия и тригонометрические функции). Учебное пособие для подготовительных отделений вузов – М: Высшая школа, 1976. – 304 с.

2. Войтович Ф.С. Комбинации геометрических тел: (вписанные и описанные шары): Книга для учащихся. – Минск: Народная асвета, 1992. – 160 с.

3. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В. И др. Список конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями): учебное пособие. – второе издание – М: Наука, 1986. – 384 с.

4. Денищева Л.О., Безрукова Г.К., Бойченко Е.М. и др. Единый государственный экзамен, математика, контрольные измерительные материалы – М: Просвещение 2005. – 80 с.

5. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А. и др. Единый государственный экзамен. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М: Интелект-Центр, 2008. – 240 с.

6. Дорофеев Г.В., Потапов К.М., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы – М: Наука 1972. – 528 с.

7. Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. 2500 задач по математике с решениями для поступающих в вузы: – М: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2002. – 912 с.

8. Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Геометрия в таблицах – М: Дрофа 2007. – 128 с.

9. Климин С.В., Стрункина Т.В., Пантелеева Е.И. и др. Единый государственный экзамен, тестовые задания – М: Просвещение 2002. – 24 с.

10. Моденов В.П., Дорофеев Г.В., Новоселов С.И. и др. Пособие по математике – М: Издательство Московского университета, 1972. – 404 с.

11. Шувалова Э.З., Каплун В.И. Геометрия: учебное пособие для подготовительных отделений вузов – М: Высшая школа, 1980. – 265 с.

12. http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/2000/06/kv0600solut.pdf

13. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9D%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0

14. http://rgp.nm.ru/geometriia/praktika11/zadatcha119.html

Приложение. Задания для самостоятельного решения

1. В пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, BF:FA=15:11. Тангенс угла между прямой BC и плоскостью ABF равен 5. Точка М выбрана на ребре BC так, что BМ:МC=4:11. Точка Т лежит на прямой FA и равноудалена от точек М и В. Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре AB, площадь этой сферы равна 36. Найдите объём пирамиды АСМТ. (Ответ: 6)

2. Основанием пирамиды FABCD является прямоугольник ABCD. Плоскость AFC перпендикулярно плоскости ABC, тангенс угла FAC равен , тангенс угла между прямой BC и плоскостью AFC равен . Точка М лежит на ребре BC, ВМ=BC.Точка L лежит на прямой FA и равноудалена от точек М и C. Объём пирамиды LВDМ равен 72. Центр сферы, описанной около пирамиды FABCD, лежит на плоскости её основания. Найдите радиус этой сферы. (Ответ: 5)

3. Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания ABC пирамиды. Точка М лежит на ребре AB так, что AМ: МB=1:3. Точка Т лежит на прямой FA и равноудалена от точки М и В. Объём пирамиды ТВСМ равен . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды FABC. (Ответ: )

4. Отрезок AB – диаметр сферы. Точки С, D лежат на сфере так, что объём пирамиды ABCD наибольший. Найдите косинус угла между прямыми СМ и АВ, если М – середина ребра BD. (Ответ: )

5. Отрезок РN, равный 8, - диаметр сферы. Точка М, L лежат на сфере так, что объём пирамиды РNМL наибольший. Найдите площадь треугольника KLT, где K и T – середины рёбер РМ и NМ соответственно. (Ответ:4)

6. Дана сфера радиуса 6. Сечением сферы плоскостью является окружность с диаметром КТ. Плоскость сечения удалена от центра сферы на расстояние 5. Точка Р выбрана на сфере, а точка L – на окружности сечения так, что объём пирамиды РКLТ наибольший. Найдите угол между прямой LM и плоскостью PTK, если М середина ребра РК. (Ответ: 30)

7. Через центр О данной сферы проведено сечение. Точка F выбрана на сфере, а точки A, B, C, D – последовательно на окружности сечения так, что объём пирамиды FABCD наибольший. Точки М, Т, L – середины рёбер FB, CD и AD соответственно. Площадь треугольника MLT равна 64. Найдите радиус сферы. (Ответ: 2)

8. Через центр О данной сферы проведено сечение. Точка F выбрана на сфере, а точки A, B, C, D – последовательно на окружности сечения так, что объём пирамиды FABCD наибольший. Найдите синус угла между прямой АМ и плоскостью BFD. (Ответ:)

 Скачать реферат