Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ

Рефераты / Математика / Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ

Доказательство.

Необходимость. Пусть около многогранника описана сфера. Докажем, что выполняется условие а). Действительно, поскольку плоскость данной грани многогранника пересекает сферу по окружности, то вершины грани, принадлежащие сфере и плоскости грани, принадлежат линии их пересечения — окружности. Поскольку центр сферы равноудален от всех вершин данной грани, то он лежит на п

ерпендикуляре к этой грани, проведенном через центр описанной около грани окружности.

Достаточность. Пусть выполняется условие а). Докажем, что около многогранника можно описать сферу. В самом деле, поскольку общая точка перпендикуляров к граням, проведенных через центры описанных около граней окружностей, равноудалена от всех вершин многогранника, то около многогранника описывается сфера с центром в этой точке.

Условие а) в данном случае равносильно условиям б) и в).

Если сфера описана около многогранника, то: а) основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на любую грань, является центром окружности, описанной около этой грани (как основание высоты пирамиды с равными боковыми ребрами — радиусами сферы, проведенными из ее центра в вершины данной грани); б) центр сферы, описанной около многогранника, может находиться внутри многогранника, на его поверхности (в центре описанной около грани окружности, в частности — в середине некоторого ребра), вне многогранника.

1.2.2 Описанная сфера и пирамида

Рис.2

Теорема 2. Около пирамиды можно описать сферу, если и только если около ее основания можно описать окружность.

Доказательство. Пусть около основания пирамиды описывается окружность. Тогда эта окружность и точка вне плоскости этой окружности — вершина пирамиды — определяют единственную сферу, которая и будет описанной около пирамиды. И обратно. Если около пирамиды описана сфера, то сечение сферы плоскостью основания пирамиды есть окружность, описанная около основания.

Следствие 1. Около всякого тетраэдра можно описать сферу.

Следствие 2. Около всякой правильной пирамиды можно описать сферу, центр которой лежит на высоте пирамиды или ее продолжении.

Центр сферы, описанной около пирамиды, может находиться:

· с вершиной пирамиды по одну сторону от плоскости ее основания — внутри пирамиды, в плоскости боковой грани (в центре описанной около этой грани окружности), вне пирамиды;

· в плоскости основания — в центре описанной около основания окружности;

· с вершиной пирамиды по разные стороны от плоскости ее основания.

Теорема 3. Если боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости её основания, то около пирамиды можно описать сферу.

Доказательство. Поскольку боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания пирамиды, то около основания пирамиды можно описать окружность, а тогда около пирамиды можно описать сферу.

Эту теорему можно сформулировать иначе: если пирамида имеет равные боковые ребра, то около пирамиды можно описать сферу.

Обратная теорема не верна

Теорема 4. Если около пирамиды описан шар, то его центр является точкой пересечений всех плоскостей, проведенных через середины ребер пирамиды перпендикулярно к этим ребрам.

Доказательство. В самом деле, любая точка, равноудаленная от двух вершин пирамиды, прилежащих к одному ребру, лежит в плоскости, проведенной перпендикулярно к этому ребру пирамиды через его середину. Поэтому центр описанного шара, будучи равноудаленным от всех вершин пирамиды, должен находиться в каждой из таких плоскостей, т.е. он является точкой пересечения всех этих плоскостей. При выполнении чертежа школьники часто помещают центр описанного шара наугад, не представив себе достаточно хорошо данной пространственной конфигурации и тем более не проводя никаких рассуждений о положении этого центра. При этом, как правило, центр ставится внутри пирамиды. Между тем центр описанного шара может лежать и внутри, и вне, и на поверхности пирамиды (в зависимости от конкретного вида пирамиды).

Теорема 5. Около усеченной пирамиды можно описать сферу, если и только если выполняется любое из условий:

a) около оснований пирамиды описываются окружности, линия центров которых перпендикулярна их плоскостям;

b) все боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости одного из оснований;

c) все боковые ребра пирамиды равны между собой;

d) все боковые грани пирамиды — равнобочные трапеции.

Доказательство. Пусть около оснований данной усеченной пирамиды можно описать окружности, и плоскости этих окружностей перпендикулярны линии их центров. Тогда, как известно, такие две окружности определяют единственную сферу, которая и будет описанной около данной пирамиды.

Пусть, наоборот, около данной усеченной пирамиды описана сфера. Тогда сечения сферы плоскостями оснований пирамиды будут окружности, описанные около оснований. Далее. Прямая, перпендикулярная плоскостям оснований пирамиды и проходящая через центр сферы, пройдет через центры окружностей, описанных около оснований.

Условие a) равносильно условиям b), c), d).

Следствие. Около всякой правильной усеченной пирамиды можно описать сферу.

1.2.3 Описанная сфера и призма

Рис.3

Теорема 6. Около призмы можно описать сферу, если и только если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.

Доказательство.

Необходимость. Если призма вписана в сферу, то каждая ее грань вписана в окружность — сечение сферы плоскостью этой грани. Значит, около основания призмы можно описать окружность, и все боковые грани призмы как параллелограммы, вписанные в окружности, — прямоугольники и поэтому призма прямая.

Достаточность. Пусть призма прямая и около ее основания описывается окружность. Тогда окружности, описанные около оснований призмы, плоскости которых перпендикулярны линии их центров, определяют единственную сферу, которая и будет описанной около призмы.

Следствия:

а) около всякой правильной призмы можно описать сферу;

б) около всякой прямой треугольной призмы можно описать сферу;

в) около всякого прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу;

Центр описанной около призмы сферы равноудален от плоскостей оснований призмы и может находиться внутри призмы, на ее боковой грани (в центре описанной около грани окружности), вне призмы.

1.2.4 Описанная сфера и цилиндр