Преобразование Лапласа

Рефераты / Математика / Преобразование Лапласа

Примечания к таблице:

· $u(t) \,$ — функция Хэвисайда.

· $\delta(t) \,$ — дельта-функция.

· $\Ga<p>mma (z) \,$ — гамма-функция.

· $\gamma \,$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

· $t \,$ , — вещественная переменная.

· $s \,$ — комплексная переменная.

· $\alpha \,$ , $\beta \,$ , $\tau \,$ и $\omega \,$ — вещественные числа.

· $n \,$ — целое число.

Причинная система — система, в которой импульсная передаточная функция h(t) равна нулю для любого момента времени $\ t < 0$ .

7. Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники.

· Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.

· Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.

· Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.

· Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.

· Решение нестационарных задач математической физики.

8. Связь с другими преобразованиями

Фундаментальные связи

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа-Карсона

Преобразование Лапласа-Карсона получается из преобразования Лапласа путём домножения его на комплексную переменную.

$\mathcal{L_k}\left\{f(x)\right\} = sF(s)$

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа $= \mathcal{L_B}$ связано с односторонним с помощью следующей формулы:

$\mathcal{L_B}\left\{f(x); s\right\} = \mathcal{L}\left\{f(x); s\right\} + \mathcal{L}\left\{f(-x); -s\right\}$

Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом s = iω:

$F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(x)\right\}= \mathcal{L}\left\{f(x)\right\}|_{s = i \omega} = F(s)|_{s = i \omega}= \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\limits\! e^{-i\omega x} f(x)\,dx.$

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель

$\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$

который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

$G(s) = \mathcal{M}\left\{g(\theta)\right\} = \int\limits_0^\infty\limits\! \theta^s\frac{g(\theta)} {\theta}\,d\theta$

положим θ = e − x, то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

Z-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

$z \equiv e^{s T} \$

где $T = 1/f_s \!$ — период дискретизации, а $f_s \!$ — частота дискретизации сигнала. Связь выражается с помощью следующего соотношения:

$X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.$

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

9. Преобразование Лапласа по энергии

Запишем уравнение