Методы решения алгебраических уравнений

Рефераты / Математика / Методы решения алгебраических уравнений

2dx

(а также многими другими способами).

Для функций, заданных таблично, достаточно распространенным критерием согласия является критерий Чебышева, который определяет расстояние между аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями как максимум

величины отклонения между функциями в узлах сетки (см. табл. 4.1):

(4.1)

Если =0, т.е. F(xi)=G(xi)=yi, то соответствующий способ аппроксимации называют интерполяцией, а процедуру вычисления значений F(x) с помощью G(x) в точках, не являющихся узлами сетки, - интерполированием.

С геометрической точки зрения график функции G(x) при интерполировании должен проходить через все точки A0(x0,y0), A1(x1,y1),…, An(xn,yn). Подчеркнем, что для значений x, не являющихся узловыми, значения функции G(x) ничем не регламентированы, и в принципе могут значительно отличаться от значений функций F(x)).

Часто процедура аппроксимации связана с другим критерием согласия:

(4.2)

Применяемый на его основе способ аппроксимации получил название метода наименьших квадратов.

Выбор критерия согласия позволяет строить методы, позволяющие однозначно определять параметры аппроксимирующей функции (если задан ее вид).

Полином Лагранжа.

Пусть Функция F(x) задана табл. 4.1. Построим многочлен Ln (x), степень которого не выше, чем n, и для которого выполнены условия интерполяции

Ln(x0)=y0, Ln(x1)=y1,…, Ln(xn)=yn. (4.6)

Будем искать Ln (x) в виде

Ln (x),=l0(x)+l1(x)+…+ln(x), (4.7)

где l1(x) – многочлен степени n, причем

l1(xл)=(4.8)

Очевидно, что требование (4.8) с учетом (4.7) вполне обеспечивает выполнение условий (4.6).

Многочлены l1(x)составим следующим образом:

l1(x)=Сi(x - x0)(x - x1)(xi - xi-1)(xi – xi=1) (xi – xn) (4.9)

где Ci – коэффициент, значение которого найдем из первой части условия (4.8):

Сi =

(заметим, что ни один множитель в знаменателе не равен нулю). Подставим Ci в (4.9) и далее с учетом (4.7) окончательно имеем:

Ln (x)=(4.10)

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По таблице исходной функции F формула (4.10) позволяет довольно просто составить «внешний вид» многочлена.

Метод наименьших квадратов.

1) На практике часто приходится решать такую задачу. пусть для двух функционально связанных величин x и y известны n пар соответствующих значений (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn). Требуется в наперед заданной формуле y=f(x, a1, a2,…,am) определить m параметров a1, a2, …,am (m<n) так, чтобы в эту x и y.

Считается (исходя из принципов теории вероятностей), что наилучшими являются те значения a1, a2, …,am, которые обращают в минимум сумму

(т.е. сумму квадратов отклонений значений y, вычисленных по формуле, от заданных), поэтому сам способ и получил название способа наименьших квадратов.

Это условие дает систему m уравнений, из которых определяются a1,a2,…,am:

(1)

(f=1,2,…, m).

На практике заданную формулу y=f (xk,a1, a2, …, am) иногда приходится (в ущерб строгости полученного решения) преобразовывать к такому виду, чтобы систему (1) было проще решать (см. ниже подбор параметров в формулах y=Aecx и y=Axq). Частные случаи: а) y=a0xm-1+…+ am(m+1 параметров a0, a1, …, am;; n>m+1).

Система (1) принимает следующий вид:

(2)