История геометрии

Самое слово «геометрия» недолго сохраняет свое перво­начальное значение — измерения земли. Уже Аристотель ввел для такого измерения новый термин — геодезия. Однако и содержание этой новой дисциплины скоро тоже стали понимать в более широком смысле, который может быть лучше всего передается современным термином «мет­рическая геометрия». В трудах Фалеса, Пифагора, Платона, Демокрита, Гиппократа,

Динострата, Никомеда, Аристотеля, если назвать только важнейших, с необы­чайной быстротой производятся установление и системати­зация фактического материала классической геометрии. Нужно отметить, что нам известны лишь разрозненные звенья в цельной цепи развития геометрии; многие звенья и имена совершенно утрачены. Около IV в. до н. э. уже стали появляться сводные сочинения под названием «Начал гео­метрии», имевшие задачей систематизировать добытый гео­метрический материал. Такие «Начала» по свидетельству Прокла, составили Гиппократ Хиосский, Феодосии из Маг­незии, Гиероним Колофонский и др. Ни одно из этих сочи­нений до нас не дошло: все они утратили свое значение и были забыты, когда появилось замечательное руководство по геометрии — «Начала» Евклида, жившего в конце IV — начале III в. до н. э.

Евклид жил в Александрии в эпоху, когда там образовался наиболее крупный центр греческой научной мысли. Опи­раясь на труды своих предшественников, Евклид создал глубоко продуманную систему, сохранявшую руководящую роль в течение свыше двух тысяч лет. «Составитель Начал» — это прозвище сделалось как бы собственным именем, под которым все позднейшие греческие математики разумели Евклида, а его «Начала» сделались учебником, по которому в течение двух тысячелетий учились геометрии юноши и взрослые. Даже те учебники, по которым ведется первоначальное обучение геометрии в наше время, по суще­ству представляют собой переработку «Начал» Евклида.

Материал, содержащийся в «Началах», по существу охватывает элементарную геометрию, как мы ее понимаем в настоящее время. Метод построения геометрии у Евклида позже характеризовали словами — строить геометрию исключительно геометрическими сред­ствами, не внося в нее чуждых ей элементов. Это означает прежде всего, что Евклид не прибегает к арифметическим средствам, т. е. к численным соотношениям. Равенство фигур у Евклида означает, что они могут быть совмещены движением, неравенство — что одна фигура может быть целиком или частями вмещена в другую. Равновеликость фигур означает, что они могут быть составлены из частей. Именно этими средствами, не прибе­гая даже к пропорциям, Евклид до­казывает, что каждый многоугольник может быть преобразован в равнове­ликий треугольник, а треугольник — в квадрат.

Теорема Пифагора у Евклида имеет только то содержание, которое устанавливается его доказательством: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треуголь­ника, может быть разложен на части, равновеликие квадратам, построенным на его катетах; связанное с этим алгебраическое соотношение численных значений гипотенузы и катетов ему совершенно чуждо. Но мало того, что Евклид не пользуется числовыми соотношениями, — он устанавливает геометрические соотношения, эквивалентные основным алгебраическим тож­дествам, установленным гораздо позже; этому посвящена почти половина второй книги «Начал».

Эпоха великих геометров (второй Алек­сандрийский период). Наиболее характерной чер­той второй Александрийской эпохи является то, что она принесла с собой метрику, которой геометрии Евклида не доставало. Ту задачу, которую Евклид, может быть, созна­тельно обходил, — измерение, — Архимед поставил во главу угла. Это не случайно, а связано с тем прикладным направ­лением, которым проникнуто все творчество Архимеда, жившего в эпоху (III в. до н. э.), когда борьба между от­дельными греческими государствами за независимость и за гегемонию достигла величайшего напряжения; старость же его протекла в годы, когда началась решительная борьба Эллады за самое ее существование. Легенды связывают всю защиту Сиракуз с именем Архимеда, который изобретал все новые и новые метательные орудия, отражавшие суда осаждавших. Сколько в этом правды, судить трудно. Но Плутарх свидетельствует, что деятельность инженера-практика Архимеда никогда не прельщала, он и не написал по этому предмету ни одного сочинения. В III в. до н. э. прикладные задачи стояли уже перед эллинскими учеными во весь рост. Заслуга Архимеда заключалась не в том, что он построил значительное число катапульт, а в том, что он установил теоретические основы, на которых в конечном счете и по сей день покоится машиностроение, — он факти­чески создал основы механики. Механика требовала вычис­ления масс, а следовательно, площадей и объемов, а также Центров тяжести; механика настоятельно требовала метри­ческой геометрии; на этом и сосредоточено внимание Архи­меда в геометрии. Трудности несоизмеримых отношений он преодолевает в том порядке, который по настоящее время остается по существу единственным средством не только практического вычисления, но и теоретического построения учения об иррациональных величинах, — путем составления последовательных приближений. Но на этом-то пути и было необходимо исключительное искусство, ибо тяжеловесная система счисления представляла самое слабое место грече­ской математики. Архимед пытался найти радикальные средства для преодоления трудностей счисления — этому посвящена его книга «Исчисление песка». К цели это не кривело. Это сочинение представляет собой лишнее свиде­тельство исключительного остроумия Архимеда, но не дает хороших средств для практического счета. Наиболее важным было приближенное вычисление квадратных корней, необ­ходимое для приближенного же вычисления длины окруж­ности; этому посвящено особое, небольшое сочинение, по существу заключающее приближенное вычисление перимет­ров правильных 96-угольников, вписанного в окружность и описанного около нее.

Таким образом, творения Архимеда существенно отли­чаются от геометрии Евклида и по материалу и по методу; это — огромный шаг вперед, это — новая эпоха. В изложе­нии этих достижений, однако, выдержана система Евклида: аксиомы и постулаты в начале каждого сочинения, тонко продуманная цепь умозаключений, претендующая на совер­шенство сети силлогизмов. Но, как и система Евклида, гео­метрия Архимеда постоянно отдает щедрую дань интуиции, причем только рядом с геометрической интуицией здесь появляется интуиция механическая.

Сочинения, посвященные истолкованию «Начал» появи­лись рано. Первым комментатором Евклида был, по-види­мому, еще Гемин Родосский, живший во II в. до н. э. зани­мались этим позднее Герои и Папп, а также Теон и другие, но их комментарии до нас либо вовсе не дошли, либо сохра­нились только в отрывках в передаче Прокла, который писал уже в V в. н. э. Комментарии Прокла сделались вскоре классическим произведением, с которым долго никто не конкурировал в деле истолкования «Начал». К тому же Прокл жил уже в эпоху полного упадка греческой науки, и на его долю выпало лишь подвести общий итог деятельно­сти его великих предшественников. Значение комментаторов Евклида заключается главным образом, в том, что они выяснили слабые места его логической схемы. Не сделав еще ничего для существенного улучшения этой схемы, они указали те пути, по которым проникают в систему Евклида рассуждения, нарушающие выдержанную нить логических выводов. Немало было высказано насмешливых замечаний по поводу комментаторов Евклида: говорили, что они пере­ливали из пустого в порожнее, делали ясное неясным. В этих упреках, конечно, много правды. Комментирование элемен­тарного сочинения не требует больших знаний, и потому было написано много легкомысленных и бессодержательных сочинений по поводу «Начал» Евклида и по вопросу об основаниях геометрии вообще. Но никак нельзя отрицать того, что комментаторы Евклида, тщательно изучавшие «Начала» и глубоко их продумавшие, указали множество темных пунктов этого сочинения и отметили целый ряд свойств пространственных образов, которые должны лечь в основу логической системы геометрии.

 Скачать реферат