История геометрии

С именем Монжа связано такое же завершение другой геометрической дис­циплины — начертательной геометрии, или, как ее пра­вильнее называют немцы, изобразительной геометрии («Darstellende Geometric»). Задача изобразительной гео­метрии заключается в таком графическом воспроизведении образа заданного объекта, по которому можно было бы с точностью воспроизвести геометрические формы этого объекта. Та

кие изображения почти всегда приходится вос­производить на плоскости (на листе бумаги, полотне, камне, стене); сообразно этому и изобразительная геометрия пред­ставляет собой почти исключительно теорию изображения предметов на плоскости; в этом изображении пространствен­ных образов на плоскости и заключается трудность задачи. Ни одна отрасль геометрии не возникла так непосредствен­но из практических задач, как изобразительная геометрия. Первые попытки воспроизведения (рисования) природных объектов относятся к временам доисторической древности в античном мире это искусство уже достигло высокой сте­пени совершенства, но оставалось только искусством, и лишь с того момента, как условия жизни предъявили к это­му изображению требования точности, возникает специаль­ная наука — теория графического изображения. Основ для этой теории естественно было искать в способах восприятия зрительных ощущений — в оптике, точнее — в геометриче­ской оптике. Прямолинейность светового луча имеет здесь решающее значение. Если объект находится между глазом и некоторой плоскостью, например стеной, то глаз является центром, из которого предмет проектируется пучком лучей на плоскость. Это обстоятельство, на которое указывал уже Евклид в своей «Оптике», сделало центральную проекцию основой всей изобразительной геометрии. Первые система­тические шаги в этом направлении принадлежат римскому зодчему и инженеру Витрувию, написавшему незадолго до христианской эры трактат об архитектуре в десяти книгах.

Однако идеи Витрувия не оказали большого влияния на развитие изобразительной геометрии, и она заново начала строиться в эпоху Возрождения. Три имени играют здесь решающую роль: величайший представитель итальянского Ренессанса Леонардо да Винчи (1452—1519), немецкий художник Дюрер (1471 —1528) и французский архитектор, инженер и математик Дезарг (1593—1662). В своем трак­тате о живописи («Trattato della pittura»), который в печати появился только в 1701 г.,

Заслуга Монжа троякая. Во-первых, он решил вопрос о построении изображения на одной плоскости, перенеся вто­рую (вертикальную) проекцию также в первую горизонталь­ную плоскость; при этом вторая плоскость с нанесенной на ней проекцией поворачивается на 90° вокруг линии пересе­чения обеих плоскостей (линии земли); получаемые таким образом в горизонтальной плоскости две проекции образуют так называемый «эпюр», по которому уже можно с точ­ностью воспроизвести изображаемый объект; учение о по­строении и «чтении» эпюра и составляет содержание начер­тательной геометрии Монжа. Во-вторых, Монж свел весь материал, собранный в применении к многообразным отдель­ным объектам, в стройную систему. В-третьих, он попытался использовать эти графические методы для целей общегео­метрического исследования: так как изображаемый объект вполне определяется эпюром, то геометрическое исследова­ние этого объекта может быть сведено к изучению эпюра. Эта последняя идея, однако, существенных результатов не дала.

Книга Мопжа представляла собой учебник начертатель­ной геометрии для парижской Политехнической школы; печать этого сочинения и по сей день лежит на всех руковод­ствах по начертательной геометрии.

Таким образом, к концу XVIII в. оформились и получили завершенное выражение те течения геометрической мысли, которые возникли в эпоху Возрождения и постепенно раз­вивались в течение шести веков. Существенные черты новой геометрии этой второй (после эллинской) эпохи расцвета заключались в исследовании тех же вопросов, которые за­нимали греческих геометров, но при помощи совершенно новых методов. Принцип «geometria geometrice» отпадает; напротив, в геометрии находят широкое приложение две новые математические науки — алгебра и исчисление беско­нечно малых. Новые методы геометрического исследования носят гораздо более абстрактный характер, они дальше от непосредственной интуиции. Вместе с тем, они дают более общие средства для решения конкретных задач; часто воп­рос разрешается механически, если он надлежащим образом поставлен. От геометризации алгебры делается переход к алгебраизации геометрии, и только изобразительная геомет­рия строится старыми, чисто геометрическими методами. Чем шире развиваются эти методы, тем глубже становятся их практические применения. Не случайно, что именно во Франции основные геометрические дисциплины получают в эту пору свое завершение, что в лице Монжа они имеют наиболее яркого своего выразителя. То было время разгара Французской революции и борьбы за ее лозунги, Монж при­надлежал к числу вождей революции.

4. Классическая геометрия XIX века

. Могло казаться, что развитие, которое новая геометрия получила в трудах французских геометров конца XVIII в., привело к некоторому завершению ее и что для нового толчка остается ждать эпохи нового Возрождения. Этого, однако, не случи­лось: XIX век принес с собой новый глубокий переворот и в содержании геометрии, и в ее методах, и в самых взглядах на ее сущность. Наиболее характерной чертой новой гео­метрии была ее алгебраизация. Но из самых корней алге­браического метода росли противоречия, имевшие двоякий источник.

Во-первых, сама алгебра не так уж сильна. Границы классической геометрии определялись теми вопросами, ко­торые алгебраически сводятся к уравнениям 1-й и 2-й сте­пени. Эти уравнения в чрезвычайно простой форме разре­шаются в радикалах. В этом содержится ключ к исследо­ванию кривых линий и поверхностей 2-го порядка, источник простоты и изящества, с которыми геометрия древних пере­водится на алгебраический язык. Но при изучении более сложных кривых, хотя бы даже алгебраических, средства алгебры в общем исследовании утрачивают свою простоту. Формулы Кардано и Феррари, служащие для выражения корней уравнений 3-й и 4-й степени, с их мнимыми радика­лами, от которых нельзя избавиться, почти не находят себе применения. За пределами 4-й степени таких формул для общего решения уравнений не существует. Приходится опе­рировать такими свойствами алгебраических уравнений, широкой общности которых расплываются отдельные част­ные задачи. Именно эти общие вопросы алгебраической геометрии всё же получили разрешение, а для решения многих отдельных задач методы Декарта дали меньше, чем от них можно было ожидать.

Вторая сторона дела заключается в том, что в цепи уравнений и алгебраических выкладок теряются нагляд­ность и пространственная интуиция; этот мощный рычаг синтетической геометрии здесь совершенно отказывается служить. К этому присоединялось то обстоятельство, что некоторые части алгебры и анализа не были еще достаточно обоснованы и содержали противоречия в самих себе. Эти противоречия вызывали не только сомнения, но и прямое раздражение у тех, кому неотчетливость мысли невыносима; а математику, привыкшему к строгости логической мысли, такое умонастроение было особенно тягостно. Выдающийся ученик Монжа Карно считал, что даже учение об отрица­тельных числах, играющее в методе координат такую важ­ную роль, полно противоречий; он требовал освобождения геометрии от «иероглифов анализа». Стремление к преодо­лению возникших таким образом противоречий привело и к возрождению чисто геометрических методов.

 Скачать реферат