Теория симметрии молекул

Необходимо разложить все перестановки группы в произведении циклов. Элементы одинакового циклического строения образуют классы. Выпишем все перестановки группы S3:

; ; ; ="images/referats/9525/image141.png">;

; .

При записи перестановок в циклах, если элемент i переходит в k, то k стоит не под i, а рядом с i; при этом цикле длины 1, кроме e=(1), не пишутся. Таким образом, в циклах e=(1); a=(1 2 3); a2=(1 3 2); b=(2 3); c=(1 3); d=(1 2).

В такой записи наглядно видно циклическое строение группы. Поэтому сразу находим все три класса сопряженных элементов группы S3:

K1={(1)}; K2={(1 2 3), (1 3 2)}; K3={(2 3), (1 2), (1 3)}.

Групповая алгебра CS3 группы S3 состоит из элементов

a=a1e+a2a+a3a2+a4b+a5c+a6d, (23)

где aiÎC; e, a, a2, b, c, d – шесть перестановок, образующих группу S3. Учитывая обозначения перестановок, запишем элементы групповой алгебры, являющиеся суммами элементов классов:

C1=e1; C2=a+a2; C3=b+c+d.

При построении таблицы Кэли группы S3 воспользуемся таблицей группового умножения группы C3V и запишем

=е; =а; =a2; =b; =c; =d.

Тогда таблица примет следующий вид.

Таблица 3

Квадрат Кэли группы S3

S3

e

a

a2

b

c

d

e

e

a

a2

b

c

d

a

a

a2

e

d

b

c

a2

a2

e

a

c

d

b

b

b

c

d

e

a2

e

c

c

d

b

a

e

a2

d

d

b

c

a2

a

e

Таблица Кэли группы S3 определяет групповую алгебру CS3, в частности, позволяет умножать элементы a из выражения (23).

Переходя к составлению таблицы умножения базисных элементов центра Z групповой алгебры CS3, заметим, что элемент C1 является ее единицей, так что , i=1, 2, 3.

Найдем элемент :

=(а+а2)(а+а2)=а2+а3+а4=а2+2е+а=2е+а+а2=2С1+С2.

Далее находим :

=(b+c+d)(b+c+d)=b2+c2+d2+bc+bd+cb+cd+db+dc=3e+3a+3a2=3C1+3C2.

При этом мы воспользовались табл. 3. Заметим, что в силу принадлежности Ci центру алгебры , так что таблица будет симметричной относительно главной диагонали. Поэтому нам осталось найти C2C3:

C2C3=(a+a2)(b+c+d)=ab+a2b+ac+a2c+ad+a2d=d+c+b+d+c+b=2C3.

Используя полученные результаты, запишем таблицу умножения базисных элементов центра групповой алгебры группы S3 (см. табл. 4).

Таблица 4

Таблица умножения базисных элементов центра алгебры CS3.

Z

C1

C2

C3

C1

C1

C2

C3

C2

C2

2C1+ C2

2C3

C3

C3

2 C3

3 C1+3C2

Запишем матрицы C(i):

; ; . (24)

Эти матрицы получаются так. Например, действие элемента С(2) на остальные элементы можно представить следующим образом:

;

;

.

Записывая коэффициенты правой части в столбец, получаем С(2).

Мы построили матричное представление базисных элементов центра Z алгебры CS3, что позволяет получить и матричное представление центра этой алгебры.

Запишем характеристические уравнения для определения собственных чисел и собственных векторов матриц Ci в следующем виде (рассматриваем сначала общий случай d матриц Ci):

. (25)

Страница:  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 
 16  17 


Другие рефераты на тему «Химия»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2024 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы