Страница
5
Определение 6. Гомоморфизмом группы G в группу G¢ называется отображение j множества G в множество G¢ такое, что
(1)
В качестве примера рассмотрим группу C3V и группу {-1}2, состоящую всего из двух элементов {-1}2={-1, 1}.
Построим отображение j группы C3V в группу {-1}2 (записываем это в виде j: C3V®{-1}2) п
о следующему правилу: элементам 
, 
, 
сопоставим 1, а элементам 
,
, 
сопоставим -1. Отображение j построено, причем, как видим, у элемента 1 группы {-1}2 есть три прообраза, т. е. три элемента группы C3V, образом каждого из которых является 1: у элемента –1 также три прообраза – это не запрещено определением отображения.
Покажем теперь, что j есть гомоморфизм. Из таблицы Кэли группы C3V видно, что произведение любых двух элементов множества C3={, , } принадлежит этому же множеству, в то же время 
. Из этой таблицы видно, что 
, i, j=1, 2, 3 принадлежит множеству C3, но с другой стороны, 
. Наконец, произведения 
и 
, i, j=1, 2, 3 принадлежат множеству 
, с другой стороны 
, 
. Таким образом для любых двух операций симметрии 
и 
из множества C3V получаем, что 
, где 
, 
, 
есть 1 или –1, т. е. отображение j, действительно есть гомоморфизм.
Определение 7. Отображение f множества М в множество N называется взаимно однозначным отображением множества М на множество N, если каждый элемент множества N является образом в точности одного элемента множества M.
Определение 8. Две группы G и G¢ называются изоморфными (обозначение G@G¢), если существует взаимно однозначное отображение q группы G на группу G¢ такое, что
(2)
Свойства группы или других математических объектов, сохраняющиеся при изоморфизме, называются структурными свойствами. Приведем два примера структурных свойств групп, которым предшествуют два важных определения.
Определение 9. Если группа G содержит конечное число элементов, то число n элементов группы называется порядком группы и обозначается n=|G|.
Например, |C3V|=6; |{-1}2|=2.
Определение 10. Группа называется абелевой или коммутативной, если для всех элементов a и b этой группы выполняется равенство ab=ba.
Так, группа {-1}2 является абелевой, а группа C3V не абелева.
Теорема 2. Если две конечные группы G и G¢ изоморфны, то их порядки равны.
Теорема 3. Если G – абелева группа и G@G¢, то и G¢ - абелева группа.
Теорема 4. Каждая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок и некоторой группе матриц.
Приведем пример. Пронумеруем элементы группы C3V в виде =1; =2; =3; 
=4; =5; =6. Используя таблицу Кэли группы C3V, запишем
.
Далее, получим, используя правило умножения перестановок. Ясно, что
.
Аналогично получаем остальные четыре перестановки искомой группы: , 
, , . Мы получили другое выражение группы C3V: ее представление в виде группы перестановок.
1.3 Классы смежности и классы сопряженных элементов
Пусть G – группа, H – ее подгруппа.
Определение 1. Всякое множество Hg (т. е. совокупность всех элементов hg, где h пробегает H, g – фиксированный элемент группы G) называется правым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично определение левого смежного класса gH.
Каждый элемент смежного класса называется его представлением. Так, элемент g – представитель класса Hg, поскольку из-за наличия в группе Н единицы е группы G элемент g=egÎHg.
Будем считать подгруппу H первым правым смежным классом. В результате группу G можно представить в виде объединения правых смежных классов:
Hg1+Hg2+…+Hgm=G (3)
Выражение (3) называется правосторонним разложением группы G по подгруппе H.
Рассмотрим пример. В группе C3V выберем подгруппу {, 
}={}2, считая ее первым правым смежным классом. Возьмем элемент и по таблице Кэли группы C3V найдем второй правый смежный класс {, }={, 
}. Элемент не входит в оба класса, и с помощью его получаем третий правый смежный класс {, }={, 
}. Таким образом, правостороннее разложение группы C3V по подгруппе {}2 имеет вид
Скачать реферат