Формирование и проверка гипотез

Проверку корректности гипотезы, содержащей только базовые литералы, можно упростить, если воспользоваться соотношением, выраженным следующей теоремой. Но сначала необходимо определить еще одну операцию (инверсию), которая часто используется в E‑структурах .

Инверсией (Inv(S)) произвольного множества S литералов является множество литералов такое, что каждому литералу LiÎS ставит

ся в соответствие литерал Î Inv(S).

Другими словами, для выполнения инверсии в множестве литералов мы вместо каждого литерала из этого множества записываем его дополнение. Так, если S = {A, , C}, то Inv(S) = {, B, }. Инверсия обладает некоторыми интересными свойствами. В частности, нетрудно проверить, что при двукратном применении инверсии к определенному множеству литералов будет получено то же самое множество, т.е. Inv(Inv(S)) = S.

Теорема. Новое базовое суждение A®B является корректной гипотезой в корректной E‑структуре G, если совместно соблюдаются два равенства:

AÑÇBD = Æ;

AÑÇInv(BD) = Æ.

Доказательство. Предположим, что AÑÇBD ¹ Æ. Это означает, что существует некоторый литерал W, который одновременно принадлежит и AÑ, и BD. Отсюда следует, что W является предшественником литерала A и потомком литерала B. Поэтому, когда литералы A и B соединяются дугой A®B (т.е. мы добавляем гипотезу в структуру), то получается, что через литералы A и B существует путь из W в W, что означает коллизию цикла. Таким образом, необходимость условия (i) доказана. Предположим, что AÑÇInv(BD) ¹ Æ. Это означает, что существует литерал W, такой, что W является предшественником A, а – потомком литерала B. Тогда при добавлении гипотезы A®B в структуру появляется путь из W в , что означает коллизию парадокса. Таким образом, необходимость условия (ii) доказана. Конец доказательства.

Из доказательства теоремы ясно, что в структуре имеется коллизия цикла в том случае, когда не соблюдается условие (i), а коллизия парадокса, - когда не соблюдается условие (ii).

Рассмотрим, как можно использовать теорему 5 для решения предыдущей задачи. Предположим, нам надо проверить корректность гипотезы B®. Строим для этих литералов соответствующие конусы:

BÑ={A, B}; D = {,,}; Inv(D) = {A, B, C}.

Проверяем условия теоремы 5: BÑÇD = Æ; BÑÇ Inv(D) = {A, B}.

Отсюда следует, что при добавлении гипотезы B® в структуру коллизии цикла не образуется, зато появляется коллизия парадокса.

Проверка насыщенности даже простой системы является весьма трудоемким занятием и здесь целесообразно воспользоваться вычислительными возможностями компьютера. Однако имеются классы E-структур, насыщенность которых легко распознается без нудного перебора. К этому классу относятся, в частности, все E-структуры, у которых диаграмма Хассе содержит две не пересекающиеся друг с другом максимальные цепи, т.е. пути, началом которых являются минимальные элементы структуры. Например, если мы построим диаграмму Хассе какой-то E-структуры и увидим такую картинку (рис. 6), то можем смело без всяких проверок утверждать, что эта система является насыщенной.

Рис. 6

Нетрудно убедиться, что к данному структурному классу относится также и система, насыщенность которой мы только что проверили методом перебора. К этому классу относятся почти все примеры полисиллогизмов, приводимые в учебниках по логике. Вместе с тем, этот класс является всего лишь частным случаем E‑структур и соответствующих им рассуждений, т.е. возможны классы E-структур, у которых схемы будут более запутанными. Далее будут рассмотрены E‑структуры, для которых проверка насыщенности не является такой простой процедурой. Приведем определения и соотношения, которые после предшествовавшего анализа будут более понятными.

Для заданной E-структуры любое суждение, содержащее только пару различных базовых терминов этой E-структуры и не содержащееся в ее CT-замыкании, называется базовым невыводимым суждением.

E-структура является насыщенной, если добавление в нее любого базового невыводимого суждения вызывает коллизии парадокса или цикла. В противном случае такая структура является ненасыщенной.

Для ненасыщенных E-структур любое ее базовое невыводимое суждение, не вызывающее в этой E-структуре каких-либо коллизий, называется базовой корректной гипотезой этой E-структуры.

Размещено на Allbest.ru

 Скачать реферат