Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Свойства смешанного произведения:

1) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак;

2) ; 3) ;

4) компланарны .

Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, построенного на векторах , , (рис.4), а объем образованной ими треугольной пирамиды находятся по формулам .

Пример 4. Компланарны ли векторы , , ?

Решение. Если векторы компланарны, то по свойству 4) их смешанное произведение равно нулю. Проверим это. Найдем смешанное произведение данных векторов, вычислив определитель:

векторы , , некомпланарны.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть отрезок в пространстве Oxyz задан точками и . Если он разделен точкой в отношении , то координаты точки следующие:

.

Пример 5. Найти точку , делящую отрезок в отношении , если .

Решение. Определим координаты точки :

. Таким образом, .

Аналитическая геометрия.

Уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости имеет вид: , , где – нормальный вектор плоскости (т.е. перпендикулярный плоскости), а коэффициент пропорционален расстоянию от начала координат до плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и имеет вид:

.

Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы и , определяется как угол между векторами и по формуле:

.

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле .

Пример 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Вычислим определитель

, или – искомое уравнение плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: , где – нормальный вектор прямой (перпендикулярный прямой), а коэффициент пропорционален расстоянию от начала координат до прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , имеет вид

или .

В другом виде , где – тангенс угла, образованного прямой и положительным направлением оси Ox, называемый угловым коэффициентом, b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и , имеет вид

.

Угол между двумя прямыми и определяется формулой

 Скачать реферат