Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы
Тогда:
Поскольку с лежит между x и x+∆x, то при ∆x→0 точка с стремится к x, а f(c)→f(x). Эти рассуждения можно записать в одну строчку следующим образом:
>
Итак,
.
3) Подведем итоги. Мы доказали , что S(x)– первообразная для f(x) на [a,b]. Но по условию F(x) – также первообразная для f(x) на этом отрезке. Следовательно, функции S(x) и F(x) отличаются друг от друга на некоторую константу С:
(1)
Пусть x=a равенство (1) примет вид: , откуда C=-F(a). При x=b равенство (1) запишется в виде: S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a). Таким образом, S= F(b)-F(a)
Рассмотрим простейший случай криволинейной трапеции – обычную трапецию. Пусть также трапеция образована графиком функции y=x и прямыми: x=1 и x=2. По формуле площади трапеции, известной из курса планиметрии,
Первообразная данной функции , а разность
Таким образом, этот пример подтверждает, что площадь трапеции может быть найдена как приращение первообразной: . Методика использования рассмотренного примера при ознакомлении учащихся с теоремой может быть такой: вначале ставится учебная проблема о нахождении связи между площадью криволинейной трапеции и первообразной; приводится пример, указывающий эту связь; формулируется теорема или сначала сообщается теорема, затем приводится примет, подтверждающий эту теорему.
4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе
Методическая схема введения понятия интеграла.
1)привести подводящую задачу;
2)сформулировать определение интеграла
1) Задачи, подводящие к этому понятию.
Задача№1. На отрезке [a,b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x). Укажите новый способ(не связанный с первообразной) нахождения площади S криволинейной трапеции, образованной графиком этой функции и прямых x=a и x=b.
Этапы решения задачи: 1) построение ступенчатой фигуры и вычисление её площади
[a,b] разбиваем на n равных частей:
Одна сторона прямоугольника - , вторая - , поэтому:
2) Выражение площади криволинейной трапеции через .
Производим деление [a;b] на более "мелкие" части и вычисляем следующее значение . После сравнения получаем: .
Задача№2. Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью , где - непрерывная на отрезке функция. Требуется найти путь, который пройдет материальная точка за промежуток времени от до .
В простейшем случае, когда мгновенная скорость постоянна, путь, пройденный телом, равен произведению его скорости на время движения. В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим образом:
Сравнивая результаты решения этих двух задач, формулируем общий метод решения: разбиение отрезка, на котором задана функция, на равные части; составление суммы вида , которая принимается в качестве приближенного значения искомой величины; выполнение предельного перехода: . Такие пределы встречаются при решении многих задач из разных областей науки и техники. Поэтому они получили специальное название "интеграл функции f(x) от a до b" и обозначение . Таким образом, по определению:
,
где f(x) – непрерывная на [a,b] функция; - точки, разбивающие отрезок [a,b] на равные части; - длина каждой из этих частей.
Запишем результаты решенных задач. Площадь криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией f(x) на [a,b],
Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от до со скоростью , где - непрерывная на отрезке функция,
.
Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции
и ,
получаем:
,
где F – первообразная для f на [a,b] – формула Ньютона-Лейбница, позволяющее вычислять интегралы.
Анализ материала учебных пособий, связанных с введением понятия "интеграл" и получением способа вычисления интегралов, приводят к следующим важным в методическом отношении выводам:
1) определение интеграла и формула Ньютона-Лейбница дают возможность доказать ряд часто применяемых свойств интеграла. В процессе доказательства этих свойств понятие интеграла и его геометрический смысл усваиваются глубже. Можно предложить, например, установить справедливость следующих утверждений:
a)
b) если функция f имеет на отрезке [a,b] первообразную, то
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Использование межпредметных связей в обучении основам безопасности жизнедеятельности
- Методы обучения и система образования
- Формирование социокультурной компетенции учащихся начальных классов
- Лингвокультурологический материал с Витебско-российским пограничьем
- Формирование вычислительных навыков в пределах 5 у детей младшего школьного возраста с нарушениями интеллекта
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения