Финансовые функции и рекурсия

Приравнивая последнее выражение нулю, и разрешая полученное уравнение относительно W, получаем формулу (20):

(20)

Контрольные примеры.

Замечание. Мы решали задачу, предполагая,

что платежи поступают в конце каждого из периодов. Это совсем не обязательно. Формула (20) остается справедливой (с поправками) и в следующих двух случаях:

Производится по m1 платежей через равные промежутки времени в каждый из k периодов. В (20) вместо k и p необходимо подставить соответственно значения k×m1 и p/m1.

Платежи проводятся через m2 периодов. В (20) вместо k и p необходимо подставить соответственно значения k/m2 и p×m2.

Указанное замечание касается и многих других ранее рассмотренных функций.

Задача о равных платежах в конце или начале каждого периода.

Банк выдал заемщику кредит в pv денежных единиц на nper периодов с необходимостью выплаты долга равными частями в конце (type=0) или начале (type=1) каждого периода. Определить величину pmt разовых выплат, если процентная ставка банка за один период равна rate.

Решение. Данная задача может быть решена с помощью встроенной в Excel функции pmt=pmt(rate,nper,pv,type). При type=0 задачи 10 и 11 идентичны. Ниже приведено решение для общего случая, основанное на легко получаемой рекуррентной формуле. Будем исходить из того, что современная стоимость всех внесенных платежей должна быть равной произведенному займу pv. Пусть через pmtn (n=1,2,…) обозначена ставка платежей при выплатах за n периодов. Найдем связь между pmtn и pmtn-1, исходя из баланса современной стоимости платежей при любом n. Пусть type=0. Тогда

Отсюда

(21)

То же самое соотношение получается и для type=1. Иными словами, при любом допустимом значении type имеет место следующая рекуррентная формула:

(22)

Раскрывая рекуррентность (22), получаем

(23)

(24)

Соотношения (24) и (22) и взяты соответственно в качестве базы и декомпозиции при реализации рекурсивной программы-функции pmt():

Из соотношений (23) и (24) при n=nper получается конечная формула для вычисления значений pmt():

Контрольные примеры.

Задача о платежах с одинаковой современной стоимостью

Некто занял pv денежных единиц на nper периодов при процентной ставке в rate процентов за период. Платежи ppmt по займу должны иметь одинаковую современную стоимость и производиться в конце (type=0) или начале (type=1) каждого периода. Определить величину платежа в период per (per=1,2,…,nper).

Решение. Данная задача может быть решена с помощью встроенной в Excel функции ppmt(rate,per,nper,pv,type). Получим её рекурсивную реализацию. Пусть pk (k=1,2,…,nper) - последовательные платежи.

Рассмотрим сначала случай type=0. Современные стоимости всех платежей должны совпадать. Отсюда

(25)

Но

(26)

Аналогично при type=1 получим

(27)

Из соотношений (25), (26) и (27) нетрудно получить соответствующие формулы для случая произвольного значения type. Выглядят они так:

Теперь ясно, что брать в качестве базы рекурсии, и как организовать декомпозицию по периодам при построении функции ppmt(), а также как получить конечную формулу (ppmt1) для решения исходной задачи:

Контрольные примеры.

Задача о платежах на проценты

Некто взял заем в pv денежных единиц при ставке rate процентов за период. Возврат долга должен быть произведен nper равными платежами в конце каждого периода. Подсчитать платеж ipmt в период per (1£per£nper), составляющий часть общего платежа, равную приросту долга по процентам за этот период.

Решение. Данная задача может быть решена с помощью встроенной в Excel функции ipmt(rate,per,nper,pv). Получим её рекурсивную реализацию. Общая величина платежа pmt в каждый из периодов может быть вычислена так (см. задачу 11 при type=0):

Базой рекурсии будем считать случай per=1. К концу первого периода часть долга, приходящаяся на проценты, будет равна pv×rate/100. Декомпозицию проведем, опираясь на такие соображения. Решать исходную задачу, вычисляя ipmt в период per - это то же самое, что решать укороченную на один период задачу, но с начальным займом в pv×(1+rate/100) -pmt денежных единиц. Тогда решение задачи можно получать с помощью пары функций ipmt() и ip(). Первая из них вычисляет вспомогательную величину pmt - размер общих платежей в конце каждого периода, и передает её в качестве формального параметра функции ip(), в которой и организуется описанный рекурсивный процесс:

Вывести конечную формулу (ipmt1) для решения задачи можно так. Остаток долга после завершения (k-1) - го периода равен:

Тогда увеличение долга по процентам за k-ый период можно подсчитать так:

Но это и есть прирост долга по процентам за k-ый период. И окончательно имеем:

Контрольные примеры.

Разные задачи

Задача о величине процентной ставки

Банк выдал заемщику S денежных единиц. Условия кредита таковы: заемщик должен внести в банк k последовательных платежей. Первый платеж в a0 денежных единиц необходимо осуществить через t0 периодов, второй платеж в a1 единиц - через t1 периодов и т.д. и, наконец, (k-1) - й платеж в ak-1 единиц - через tk-1 периодов. Все величины tn (n=0. . k-1) отсчитываются от момента получения займа. Какую процентную ставку установил банк для этого кредита?

 Скачать реферат