Линейное программирование

Содержание

Введение

Теоретическая часть

Математическое решение задачи

Заключение

Список использованной литературы

Приложение №1 (Excel)

Приложение №2 (Pascal)

Введение

Математическое программирование – область прикладной математики, объединяющая различные мат.методы и дисциплины.

Методы:

1. Математическое программирование.

2. Диффер

енциальные и разностные уравнения.

3. Теория игр.

4. Теория решений и т.д.

Классические задачи исследования операций:

· Задачи диеты (задача о рационе).

· Задача замены(динамическое программирование).

· Задача коммивояжера (динамическое программирование).

· Распределительные задачи.

· Задача о назначениях.

· Задача о размещении складов.

· Задача о раскрое (линейное программирование).

· Задача поиска.

· Теория расписаний (метод дискретного программирования).

· Управление запасами (линейное программирование).

· Задачи массового обслуживания.

Методы математического программирования:

1. Линейного программирование.

2. Не линейное программирование.

3. Динамическое программирование.

4. Алгоритмы на графах.

5. Система массового обслуживания (СМО).

6. Методы прогнозирования.

7. Имитационное прогнозирование.

8. Теория игр.

9. Теория принятия решений.

Теоретическая часть

Рассмотрим один из основных методов – линейное программирование.

Линейное программирование (далее ЛП) – задачи, в которых критерий оптимальности задается в виде линейной формы от входящих в него переменных, на эти переменные накладываются ограничения в виде линейных уравнений или линейных неравенств.

Основные задачи ЛП:

ü Задача оптимизации межотраслевых потоков.

ü Транспортные задачи.

ü Подробнее поговорим про задачу об оптимальном выпуске продукции.

Требуется составить такой план выпуска продукции, который был бы технологически осуществлен по имеющимся ресурсам всех видов, удовлетворял бы задаваемым ограничениям на выпуске каждого вида продукции и в то же время приносил наибольшую прибыль предприятию.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

· максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);

· систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;

· требование неотрицательности переменных.

Для решения задач ЛП используют графический метод и симплекс-метод.

Математическое решение задачи

В общем виде задачу линейного программирования можно представить следующим образом:

Алгоритмы симплекса-метода позволяют также установить, является ли задача ЛП разрешимой.

Рассмотрим задачу линейного программирования симплекс методом. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимым для производства любого из трех видов производимых товаров 1, 2, 3. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида товаров; прибыль, получаемая от реализации единицы товара, а также запасы ресурсов указаны в таблице.

Определить какой ассортимент товара надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной.

Обозначим Товар 1 как х1, Товар 2 – х2, Товар 3 – х3.

Z=10х1+8х2+6х3

Решим задачу симплекс методом.

Математическая модель должна быть в канонической форме, т.е. все ограничения в виде неравенств.

4x1 + 8x2 + 4x3 ≤ 120

6x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 160

2x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 400

Введем новые переменные x4, x5, x6.

4x1 + 8x2 + 4x3 + x4 ≤ 120

6x1 + 2x2 + 3x3 + x5 ≤ 160

2x1 + 2x2 + 4x3 +x6 ≤ 400

Находим исходные опорные решения и проверяем на оптимальность, для этого заполняем симплексную таблицу.

I опорное решение.

x1=0, x2=0, x3=0, x4=120, x5=160, x6=400, Z=0.

Если решение не оптимально, строим вторую симплекс-таблицу.

Находим ключевой элемент: выбираем столбец с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, для этого столбца находим bi/xij и выбираем минимальное значение, т.е. выбираем строку, на пересечении выбранного столбца и строки определяется ключевой элемент;

Ключевой элемент находится на пересечении столбца х1 и строки х5, т.е. меняем их местами. Свободные переменные x5, x2, x3; базисные переменные x1, x4, x6.

Во второй симплекс-таблице переписываем ключевую строку, разделив ее на ключевой элемент, заполняем базисные столбцы, остальные коэффициенты таблицы находим по правилу прямоугольника;

Получаем новое опорное решение и проверяем его на оптимальность,

II опорное решение.

x1=26,67, x2=0, x3=0, x4=13,33, x5=0, x6=346,67, Z=266,67.

Данное решение не является оптимальным, т.к. в последней строке симплекс-таблицы находится отрицательное число – строим третью симплекс-таблицу.

Ключевой элемент находится на пересечении столбца х2 и строки х4, т.е. меняем их местами. Свободные переменные x4, x3, x5; базисные переменные x2, x1, x6.

 Скачать реферат