Использование линейного программирования для решения задач оптимизации

Прибыль предприятия принимает максимальное значение 1080 ден. ед. при реализации 12 единиц продукции Р1(Х1=12) и Р2(Х 2=18). Дополнительные переменные х 3, х 4, х 5.

показывают разницу между запасами ресурсов каждого вида и их потреблением, то есть остатки ресурсов. При оптимальном плане производства х 4 = х 5 = 0, остатки ресурсов S2 и S3 равны нулю, а остатки ресурсов S1 = 21.

Ответ:

максимальная прибыль от реализации продукции равна 1080 ден. ед.

2 способ – геометрический метод

Геометрический метод решения задач оптимизации сводится к нахождению оптимального решения задачи в одной из угловых точек многоугольника(рис. 1) для

линейной функции F = 30х1 + 40х2 → max при следующих ограничениях:

3х1 + х2 ≤ 75, (I)

х1 + х2 ≤ 30, (II) (12)

х1 +4х2 ≤ 84, (III), х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х2 ≥ х1

по смыслу задачи.

Изобразим многоугольник решений данной задачи.

3х1 + х2 ≤ 75, х1 = 12,

х1 + х2 ≤ 30, или х2 = 18., т. е. А(12, 18)

максимальное значение линейной функции равно :

Fmax= 30*12 + 40*18 = 1080.

Итак, Fmax = 1080 при оптимальном решении х1 = 12, х2 = 18, т. е. максимальная прибыль в 1080 ден. ед. может быть достигнута при производстве 12 единиц продукции А и 18 единиц продукции В. Ответ: Fmax = 1080.

Заключение

Алгоритмы безусловной минимизации(максимизации) функций многих переменных можно сравнивать и исследовать как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения.

Первый подход может быть реализован полностью только для весьма ограниченного класса задач, например, для сильно выпуклых квадратичных функций. При этом возможен широкий спектр результатов от получения бесконечной минимизирующей последовательности в методе циклического покоординатного спуска до сходимости не более чем за n итераций в методе сопряженных направлений.

Мощным инструментом теоретического исследования алгоритмов являются теоремы о сходимости методов. Однако, как правило, формулировки таких теорем абстрактны, при их доказательстве используется аппарат современного функционального анализа. Кроме того, зачастую непросто установить связь полученных математических результатов с практикой вычислений. Дело в том, что условия теорем труднопроверяемы в конкретных задачах, сам факт сходимости мало что дает, а оценки скорости сходимости неточны и неэффективны. При реализации алгоритмов также возникает много дополнительных обстоятельств, строгий учет которых невозможен (ошибки округления, приближенное решение различных вспомогательных задач и т.д.) и которые могут сильно повлиять на ход процесса.

Поэтому на практике часто сравнение алгоритмов проводят с помощью вычислительных экспериментов при решении так называемых специальных тестовых задач. Эти задачи могут быть как с малым, так и с большим числом переменных, иметь различный вид нелинейности. Они могут быть составлены специально и возникать из практических приложений, например задача минимизации суммы квадратов, решение систем нелинейных уравнений и т.п.

 Скачать реферат