Параллельные прямые в курсе основной школы

рис.1 рис.2

Отложим на луче СD отрезок СР1=СА (рис. 2). Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике АСР1 каждый из углов ∟А, ∟Р1=450=1/2*900 (ведь, по предположению, сумма углов треугольника равна 1800). Отложим теперь на прямой СD отрезок Р1Р2= Р1А. тогда в равнобедренном треуголь

нике АР1Р2каждый из углов ∟Р1АР2, ∟Р2, как легко подсчитать, равен 1/2*450=1/4*900. Затем построим точку Р3 прямой СD (так, чтобы АР2= Р2Р3) и т.д. В результате получим лучи АР1,АР2, АР3…, каждый из которых пересекает прямую СD. При этом ∟ВАР1=1/2*900, ∟ВАР2=1/4*900, ∟ВАР3=1/8*900, …Ясно, что после конечного числа шагов получим такой луч АРn (пересекающий прямую DD’), для которого ∟ВАРn=1/2n*900<а. этим и завершается доказательство теоремы.

Как известно из V постулата (или аксиомы параллельности) вытекает, что сумма углов любого треугольника равна 1800.

Таким образом, теорема 3 показывает, что утверждение «сумма углов треугольника равна 1800 эквивалентно V постулату (эта эквивалентность имеет место только при выполнении остальных аксиом геометрии Евклида).

В заключение приведем одно из доказательств V постулата, помещенных Лежандром в его книге "Начала геометрии". Для доказательства V постулата нужно лишь установить, что сумма углов треугольника не может быть меньше 180°: ведь тогда из теоремы 1 будет вытекать, что сумма углов треугольника в точности равна 180°, а потому, согласно теореме 3, будет справедлив V постулат. Доказательство проводится "от противного": пусть существует треугольник ABC, сумма углов которого меньше 180°, скажем, равна 180°- α (см. рис.).

Построим на стороне BC вне треугольника ABC треугольник BCD, равный ABC, и проведем через точку D прямую, пересекающую стороны AB и AC угла BAC в точках M и N. В таком случае сумма углов треугольника BCD также равна 180°- α, а у треугольников BDM и CDN суммы углов не превосходят 180° (теорема 1).

Поэтому сумма 12 углов четырех треугольников: ABC, BCD, BDM и CDN не превосходит 720°-2α. Но суммы трех углов при точках B, C и D равны 180°; поэтому сумма оставшихся трех углов при вершинах A, M и N не превосходит (720°-2α) - 540° = 180°- 2α. Таким образом, мы построили треугольник AMN, сумма угол которого не превосходит 180°-2α. Далее таким же способом строим треугольник, сумма углов которого не превосходит 180°- 4α, затем треугольник, сумма углов которого не превосходит 180°- 8α, и т. д. Но таким путем мы, в конце концов, придем к треугольнику с отрицательной суммой углов, - а такого треугольника явно не может быть! Полученное противоречие и доказывает, что сумма углов любого треугольника равна 180°, а значит (теорема 3), V постулат имеет место.

Ошибочность этого доказательства состоит в том, что Лежандр, не оговаривая этого явно, пользуется следующим утверждением: через любую точку D, взятую внутри угла CAB, можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла. Но это предложение эквивалентно самому V постулату: его так же не удается доказать, исходя из остальных аксиом, как и V постулат.

Неевклидова геометрия Лобачевского и абсолютная геометрия. Многие попытки доказательства V постулата проводились по схеме "доказательства от противного", т. е. предполагалось, что V постулат не имеет места, и делался ряд выводов, имеющих место в этом случае. Если бы при этом удалось прийти к противоречию, то V постулат был бы доказан. По этому пути шли упомянутые выше Хасан ибн ал-Хайсам и Омар Хайям, а также во многом следовавшие за Хайямом азербайджанский математик XIII века Насир Ад-Дин ат-Туси, итальянский математик XVII-XVIII веков Джироламо Саккери и немецкий математик XVIII века Иоганн Генрих Ламберт.

При этом было накоплено много фактов, которые имели бы место в геометрии, в которой верны все аксиомы евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельности, а последняя неверна. Особенно много удивительных теорем, которые имели бы место в такой "геометрии", если бы только последняя была возможна, получил И.Г. Ламберт. Однако никто из перечисленных выше математиков не допускал и мысли о том, что, помимо геометрии Евклида, возможна другая непротиворечивая геометрия. В большинстве случаев все их построения завершались тем, что явно или неявно применялась аксиома, содержащая утверждение, равносильное V постулату, в результате чего и обнаруживалось противоречие. Однако сегодня мы ценим упомянутые исследования как заложившие начала неевклидовой геометрии Лобачевского. Под этим названием понимается та совокупность теорем, которая может быть выведена из системы аксиом, получаемой, если заменить аксиому параллельных евклидовой геометрии противоположным утверждением: в плоскости через точку A, не принадлежащую прямой a, можно провести более одной прямой, не пересекающейся с a (см. рис.).

Эта геометрическая система носит имя Николая Ивановича Лобачевского, профессора и ректора Казанского университета. Независимо от него, существование новой геометрии установили великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс и замечательный венгерский математик Янош Бойяи, сун Фаркаша Бойяи. Названные три автора первоначально шли тем путем, который мы указали выше. Стремясь доказать V постулат от противного, они глубоко развили аксиоматическую систему, получающуюся при отрицании истинности V постулата, но не обнаружили при этом никаких противоречий. Однако, в противоположность своим предшественникам, эти три великих математика сделали из полученных ими результатов вывод о существовании геометрической системы, отличной от евклидовой.

При этом они продолжали исследовать новую геометрию, получая дальнейшие относящиеся к ней теоремы. По-видимому, Гаусс владел основными идеями новой геометрии уже в начале 10-х годов прошлого века; однако, боясь быть непонятным, он никому не сообщил о своем замечательном открытии. Мужественнее поступили Н.И. Лобачевский и Я. Бойяи, которые опубликовали первые работы, излагающие существо неевклидовой геометрии, и отстаивали свои идеи. Первая публикация в этом направлении принадлежит Лобачевскому, напечатавшему в 1829 году в журнале "Казанский вестник" статью "О началах геометрии". Вслед за этим Лобачевский напечатал много других статей и книг, широко раскрывающих содержание открытой им геометрической системы. Я. Бойяи опубликовал свое открытие в 1832 году в виде приложения ("Appendix") к обширному сочинению своего отца. Этот краткий мемуар по достоинству считается одним из замечательнейших произведений мировой математической литературы.

Янош Больяи

Больяи (Бояи, а также Бойаи) Янош (15.12.1802-27.1.1860)- венгерский математик и военный инженер. Родился в Коложваре (ныне Клуж-Напека, Румыния), Его отец Фаркаш (Вольфганг) Больяи - профессор математики и поэт (9.2.1775-21.11.1856), друг К. Ф. Гаусса.