Методы формирования понятия числа у младших школьников

Для выполнения счета пользовались также различными простыми приспособлениями, например зарубками на палке, пучками прутиков, камешками и различными бусами. Предметов, которые сосчитывались, было немного, поэтому и счет был несложный.

Считая эти предметы, люди пришли к понятию числа предметов. Они поняли. Что на вопрос, сколько охотник убил зверей, можно ответить, показав пять пальцев своей

руки. С другой стороны, если у человека имеется пять стрел, то он тоже может показать пять пальцев.

Таким образом, хотя предметы совершенно различны, но их имеется поровну, т.е. стрел столько же, сколько и зверей. Значит, и группе зверей, и пучку стрел соответствует одно и то же число – пять.

Прошло очень много времени, прежде чем люди освоились с большими числами. Они шли от числа один, или единица, к большим числам очень медленно.

Устная нумерация. Если, может быть, наши отдаленные предки не вполне сознавали, что числа должны иметь наименования, и человек на вопрос, сколько у него стрел, мог просто показать пять пальцев, то теперь мы понимаем, что каждому числу нужно дать свое название. Но чисел очень много, так как есть совокупности, содержащие много предметов. Поэтому возникает вопрос: как достигнуть того, чтобы числа получили названия, но чтобы различных слов для этого был не очень много? Это достигается следующим образом: сначала устанавливаются наименования для первых десяти чисел; затем из этих наименований путем разнообразного их соединения и прибавления еще не многих новых слов составляются названия последующих чисел. Представим себе, что мы считаем какие-нибудь предметы и при этом произносим слова: один, два , три, …, девять, десять. В процессе этого счета мы получили названия первых десяти чисел.

Так, переходя к рассмотрению чисел в пределах 100, дети впервые встречаются с тем фактом, что десять единиц образуют новую счетную единицу – десяток. Они узнают, что названия чисел, больших 10, образуются уже с использованием названий, принятых для первых десяти чисел (один-на- дцать, две-на-дцать, три-на-дцать, …, два-дцатьи), что запись чисел в пределах 100 производится с использованием тех же самых десяти цифр, но с помощью двух цифр, значение которых зависит от места, которое занимает цифра в записи.

Подумаем теперь о названиях этих десяти чисел. Прежде всего, когда мы называем эти числа вслух, то каждый раз слышим слово «дцать». Это есть не что иное, как не сколько искаженное слово «десять». Значит, эти названия нужно понимать так: один на десять, два на десять, три на десять и т д. «На десять» - значит сверх десяти. В старых русских книгах, например в арифметике Л.Ф. Магницкого, так и писалось: «един на десять» и т.д. Может быть, естественнее было говорить «один и десять», но наши предки предпочли говорить «один на десять». Слово же «двадцать» обозначает два десятка.

Обратите внимание на то, что чисел у нас было пока двадцать, а совершенно различных названий только десять, потому что названия чисел второго десятка мы составляли из названий чисел второго десятка.

Будем считать дальше: двадцать один, двадцать два, двадцать три, …, двадцать девять, тридцать.

Мы получили названия еще десяти чисел. Эти названия возникли путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка, т.е. мы получили двадцать и один, двадцать и два и т.д. Последнее название тридцать обозначает три десятка.

Продолжая считать далее, мы получим названия чисел четвертого десятка, затем пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого. Названия этих чисел будут возникать так же, как и в пределах третьего десятка; только в двух случаях появятся новые слова. Это будут слова: сорок для обозначения четырех десятков и сто для десяти десятков. Кроме того, для обозначения девяти десятков вводится особое слово девяносто.

Письменная нумерация. Для записи или для обозначения чисел существует десять особых знаков, называемых цифрами:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

С помощью этих десяти цифр можно написать любое число. Это делается следующим образом. Первые девять чисел от единицы до девяти записываются указанными выше цифрами: 1; 2; …; 9.

Следующие за девятью числа записываются при помощи тех же самых знаков и знака 0 (нуль), т.е. так: 10 (нуль показывает, что в этом числе нет единиц); 11; 12; 13; и т.д.

Обратим внимание на то, что для чисел от 11 до 20 название не совпадает с написанием: когда мы говорим «одиннадцать», то сначала произносим один, а потом десять, а пишем наоборот, сначала десяток, а потом единицу.

Следующие за 20 числа пишутся так: 21; 22; 23; и т.д.

Заметим, что здесь нет разницы между названием и написанием чисел: как мы называем число, так его и пишем.

Дальнейшие числа от 30 до 100 будут записываться по образцу записи чисел от 20 до 30.

Значит, единицы числа пишутся на первом месте справа, а десятки – на втором месте, т. е. левее единиц.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, возникающие в процессе счета, называются натуральными (целыми) числами, а совокупность этих чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральном рядом.

Наименьшим числом натурального ряда является единица, а наибольшего числа нет, так как, какое бы большое число мы ни взяли, увеличив его на единицу, получим новое число. Эту мысль можно выразить так: натуральный ряд чисел бесконечен.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

Натуральные числа, кроме основной функции – характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию – характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких- либо более простых понятий.

Гуманитарные подходы к изучению нумерации чисел

Богатые возможности для реализации гуманитарного подхода к обучению математике содержит в себе учебный материал темы «Нумерация чисел», в которой изложены сведения об обозначении чисел в речи и на письме. Эти сведения изучаются при работе по любым программам. (В математике сведения о принципах и правилах записи и чтения чисел, правилах выполнения арифметических действий с числами, записанными определенным образом, составляют содержание раздела «Системы счисления»).

Традиционно изучение системы записи и чтения чисел в начальной школе сводится к обучению детей записывать и по записи читать числа в десятичной системе. Десятичная система, десятичная запись при этом воспринимаются как единственно возможные. Чаще всего дети и не подозревают о том, что существуют и другие системы записи, системы обозначения чисел, что десятичная система - результат многовековой работы мысли человечества над решением проблемы: как бесконечное множество чисел записать конечным числом знаков так, чтобы запись легко читалась и облегчала сравнение чисел и выполнение действий с ними. Воспринимая действующую систему записи и чтения чисел как нечто абсолютное и неизменное, дети не отделяют содержание записи от самой записи, содержание и смысл понятия числа от формы обозначения его в речи и на письме. Последнее же значительно затрудняет понимание и освоение как понятия числа, так и способов, и форм его обозначения.