Математические предложения и методика их изучения

Исходим из предложений: Q1:a||b; Q2:a´b; Q3: a-b – скрещиваются.

Допущение Q2:a´b даёт $a (a´a и ) (достаточно провести произвольную плоскость α через b, отличную от плоскости определяемой пересекающимися прямыми a и b) или: так как $a (a´a и ) <=> не для всякой плоскости a (если a´a, то a´b), получаем “если Q2, то ”: если a´b, то не для всякой a если a´a, то a´b).

Из “если Q2, то ” и “Р” по правилу отрицания имеем: :.

Аналогично допущение Q3: “a-b скрещиваются” приводит к не любой плоскости a (если a´a, то a´b) (достаточно через b и какую-нибудь точку прямой a провести плоскость). Получаем из: “если Q3, то ” и “Р” по правилу отрицания :.

Итак, получаем и, т. е. Q2 и Q3 – неверно, поэтому верно Q1: a||b.

2)Метод математической индукции – специальный метод доказательства, применяемый к предложениям типа: “"xÎN P(x)”, т.е. к предложениям, выражающим некоторое свойство, присущее любому натуральному числу.

Схематически полная логическое доказательство теоремы можно составить так: 1) точное понятие; 2) включаем все посылки; 3) не опускают никаких промежуточных рассуждений; 4) явно указывающее правила вывода.

В практике школьного обучения математики наиболее часто используется прямое доказательство, основанное на содержательном доказательстве в свернутом виде: 1) интуитивное понятие; 2) опускают некоторые в частности, общие посылки; 3) опускают отдельные шаги; 4) не фиксируют использование логики.

Например: Диагонали прямоугольника равны.

Теорему можно доказать: а) с помощью осевой симметрии; б) с помощью равенства прямоугольников. Отметим, что различные доказательства теоремы отличаются как математическими посылками, (используемыми в них истинными предложениями данной теории), так и логикой (используемыми правилами).

Доказательство 1.

“Если четырёхугольник – прямоугольник, то его диагонали равны” или “Если ABCD – прямоугольник, то AC=BD”.

Точка D симметрична A; B – симметрична C относительно MN (это непосредственно следует из ранее доказанной теоремы: “Серединный перпендикуляр и сторона прямоугольника являются осью симметрии). Значит, отрезок AC и DB симметричны относительно оси MN. Поэтому AC=BD.

Доказательство 2.

, т.к. они прямоугольные (), AB=CD как противоположные стороны прямоугольника; AD – общая сторона. Следовательно, AB=CD.

Методика введения теорем предполагает подготовку учащихся к восприятию ее доказательства.

1) Для того, чтобы учащиеся поняли логические части доказательства, применяют метод целесообразных задач.

Например: При доказательстве того факта, что угол между боковым ребром призмы и ее высотой равен углу между плоскостями основания и перпендикулярного сечения, необходимого предварительно решить по готовым чертежам следующие задачи:

1. По данным на рисунке найти и угол между прямыми BO и OC.

Замечание: угол между двумя прямыми (двумя плоскостями) острый.

2. Угол между плоскостями и равен , прямая OA перпендикулярна плоскости , ; прямая OB перпендикулярна плоскости , . Найти угол между прямыми OA и OB.

2) Для подготовки учащихся к восприятию доказательства теоремы можно использовать прием многократного доказательства (например, тройная прокрутка).

а) учитель излагает схему (идею, канву) доказательства. Возможно, при этом использование эвристической беседы, которая может быть или аналитико-синтетический или синтетический. Вопросы должны быть сформулированы четко, отражая наиболее важные логические этапы доказательства. После каждого вопроса необходима пауза для того, чтобы учащиеся смогли самостоятельно найти ответ:

б) учитель излагает доказательство теоремы в виде краткого рассказа, обосновывая каждый шаг;

в) повторение доказательства в полном объеме.

Еще один прием обучения доказательством – обучение учащихся составленного плана доказательства теоремы, при котором выполняются следующие этапы:

даётся готовый план доказательства новой теоремы и учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана. Преимущества: 1) план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных задач, которые учащиеся могут решить; 2) у учащихся появляется уверенность в том, что они смогут доказать новую теорему; 3) план позволяет охватить все доказательство в целом, у учащихся возникает чувство полного понимания;

учащихся учат составлять план уже изученной теоремы. Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно.

Раскрыть логическую структуру составного предложения, – значит, показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”, “или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”, обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие.