Математические предложения и методика их изучения
Процесс доказательства теорем и геометрии выражает связь единичных суждений (чертеж) и общих (использование общих свойств фигур) поэтому при обучении доказательствам для формирования правильного представления о проблематичном характере того или иного суждения следует применять на каждом шаге вопросы “Почему?”, “На каком основании?”
В курсе планиметрии обучение доказательствам проводится к
онкретно-индуктивным методом. Так как ученики в курсе геометрии, по мнению Шохор-Троцкого, занимаются преимущественно решением задач. Теоремы они доказывают только такие, которые не принадлежат к числу очевидных для них и которые не требуют слишком тонких рассуждений. Поэтому целесообразно в некоторых случаях предлагать учащимся для решения задачи абстрактного характера, подготавливающие самостоятельное формирование или доказательство теорем.
Суждение, умозаключение, высказывание
Суждение – это такая форма мышления, в которой отражается наличие или отсутствие самого объекта, наличие или отсутствие его свойств, связей.
Суждение – это форма связей понятий друг с другом, которая обладает двумя свойствами: 1) что-либо утверждает или отрицает; 2) является или истинным, или ложным.
Например: 1) любой параллелограмм есть ромб – ложно; 2) любой ромб есть параллелограмм – истинно; 3) “есть функция” – суждение выражает связь понятий по объёму, т.е. - составная часть класса функций; вместе с тем ей присуще всё то, что свойственно функциям; 4) многочлен непрерывен при всех значениях независимой переменной – истинно.
Каждая наука есть определенная система суждений об объектах , являющихся предметом ее изучения.
Например: "Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусов" – это суждение сформулировано в виде геометрического предложения, принадлежащего евклидовой геометрии , т. к. а) состоит из геометрических (сумма углов, треугольник 180 градусов) и логических (всякого, равна) терминов или символов; б) истинно т.к. доказывается в рамках евклидовой геометрии.
Суждения образуются в мышлении 2 способами: непосредственно и опосредовано.
Например: 1. Эта фигура – круг - суждения выражает результат восприятия.
2. x2=-2 – не имеет действительных корней суждений опосредованное, оно возникло в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением.
Умозаключение – процесс получения нового суждения – вывода из одного или нескольких данных суждений.
Например:
x2=-2 – уравнение;
квадрат действительного числа больше или равен нулю;
корень обращает уравнение в верное числовое равенство.
Из этих трех суждений получаем новое: уравнение x2=-2 не имеет действительных корней.
В математической логике используют термин “высказывание”, имеющий смысл, близкий к понятию “суждение”. Под высказываниями производятся следующие операции: а) отрицание высказывания; б) конъюнкция; в) дизъюнкция; г) импликация.
Математическая логика, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов.
Для нее характерна формализация логических операций, полное абстрагирование от конкретного содержания предложений.
Например: (все растения красные)´(все собаки – растения) =>(все собаки красные).
Основные виды математических предложений
Математическое суждение принято называть предложением.
Например: “S есть P” - S - логическое подлежащее или субъект мысли (то, о чем идет речь в предложении); Р – логическое сказуемое или предикат мысли. Суждения часто даются в условной форме: “если есть А, то есть и В”.
Раскрыть логическую структуру составного предложения, – значит, показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”, “или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”, обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие. Например:
Элементарные предложения:
дан DАВС; (x) АВ=ВС; (y) АД=ДС; (z) ВДДС.
Составные предложения:
1. Если АВ=ВС и АД=ДС, то ВДДС – истинное.
2. Если АВ=ВС, то АД=ДС и ВДДС – ложное.А
3. Если ДВ=ВС и ВД не перпендикулярно АС,
то АДДС – истинное.
Логические структуры для 1. и 3. выглядят так: 1) Если x и y, то z. 3) Если x и не z, то не y.
Например:
Если число целое и положительное, то оно натуральное;
Если число целое и не натуральное, то оно не положительное.
Аксиома – предложение, принимаемое без доказательства. Определенное число аксиом образует систему исходных положений некоторой научной теории, лежащую в основе доказательств других положений (теорем) этой теории, в границах которой каждая аксиома принимается без доказательства.
Постулат – это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.
Например, понятие а||b определяется двумя постулатами:
(a)(b);
(a=b)(ab=0).
Теорема – математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), логического следствия других предложений, принимаемых за достоверные.
Можно отметить два подхода к пониманию теоремы:
А.В. Погорелов (геометрия “7-11”) “Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливал путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. … Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Это часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы”.
Структура теоремы, предполагаемая В.П. Болтянским: а) разъяснительная часть; б) условие; в) заключение.
Например, “если сумма цифр числа n делится на 3, то само число n делится на 3”.
Условие: сумма цифр числа n делится на 3
Заключение: само число делится на 3.
Разъяснительная часть: n – любое натуральное число.
Используя логическую символику, теорема представляется так:
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Формирование экологической культуры старшеклассников
- Формирование коммуникативной компетенции у детей старшего дошкольного возраста через занятия
- Развитие связной речи старших дошкольников посредством словесных игр
- Социально-педагогические проблемы организации проектно-творческой деятельности младших школьников на уроках трудового обучения
- Методика преподавания немецкого языка как второго иностранного языка на начальном этапе
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения