Методические особенности введения показательной функции в курсе математики средней школы

2–3.

Актуализация опорных знаний и изучение нового материала.

Учитель: Нам уже известно, что такое степень с рациональным показателем. Теперь определим степень с иррациональным показателем при основании а>0. Пусть s-иррациональное число. Возьмем такие числа r и t, что . Тогда по свойству степеней получаем неравенство .

Опр. Пусть а>0. Степенью числа a с иррациональным показателем s называется такое число b, что при любых значениях r и t, что выполняется неравенство . Это число b обозначается .

Аналогично доказывается и для положительного числа а<0.

Опр. Пусть . Степенью числа а с иррациональным показателем s называется такое число b, что при любых значениях r и t, что выполняется неравенство . Это число b обозначается .

Теорема. Для любых значений и при любых действительных s и t привильные равенства:

Пример: Расставить числа в порядке убывания чисел:

Решение: Сравним числа 3, 3.5, . И получим, что 3<<3.5. Так и получится расставить с соответствующими основаниями.

Показательная функция:

Рассмотрим выражение , где - постоянная, Это выражение имеет смысл при любом действительном значении , поэтому областью определения является множество всех действительных чисел.

Опр. Показательной называется функция вида , где - постоянная,

Область определения показательной функции – это натуральное множество определения выражения , множество всех действительных чисел.

На рисунке 1 показан график функции с основанием

рис. 1.

На рисунке 1 показан график функции с основанием

рис. 2.

Теорема (о свойствах показательной функции ,).

Свойства показательной функции:

1. Область определения функции − вся числовая прямая.

2. Область значений функции − промежуток (0;+).

3. Показательная функция наименьшего и наибольшего значения не имеет.

4. График показательной функции пересекается с осью ординат в точке (0; 1) и не пересекается с осью обсцисс.

5. Показательная функция не имеет нулей функции.

6. Показательная функция принимает положительные значениях на всей числовой прямой; все точки ее графика находятся выше оси Ох в I и II координатных углах.

7. Показательная функция не является ни четной ни нечетной.

8. При показательная функция возрастает на всей области определений. При показательная функция убывает на всей области определения.

9. Показательная функция не является переодической.

Данные свойства показательной функции примем без доказательства, график функции позволяет наглядно доказать некоторые свойства.

Пример 1: Записать наибольшее и наименьшее значение функции (если они существуют): a); б) .

Решение: а) т.к. 3 >0 и 3>1, то большему значению показателя соответствует и большее значение степени . Однако выражение при х=0 имеет наименьшее значение, а наибольшего не имеет. Значит, при любых значениях x правильное неравенство т.е.

б) т.к. 0<0,7<1, то большему значению показателя sin x соответствует меньшее значение степени . Значению выражения sin x при любых значениях х . Таким образом, при любых значениях х правильное неравенство . Значит и правильное неравенство

, т.е. .  

Определения и все свойства учащиеся записывают в тетради,

а остальной материал, излагаемый учителем, слушают и запоминают. За материалом можно следить в учебнике.

Учитель: Объясняет, что любой график показательной функции проходит через точку (0; 1). Построение графиков функции происходит по табличному (по точечному) способу.

4.

Первичное закрепление нового материала.

2.10. Является ли показательной функцией (устно):

1. 4.

2. 5.

3. 6.

2.12 Схематически изобразите график функции:

1. 2.

3. 5.

4. 6.

При выполнении упражнений если возникает трудность, то учитель объясняет сложности в выполнении задания. В 2.12 главное в выполнении это определение показательной функции.

5.

Домашнее задание:

Домашнее задание включает в себя задания из тех упражнений, которые выполнялись в классе. Также учащимся необходимо усвоить новый материал про показательную функцию.