Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца

Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы норма не меняется.

Пусть даны положительные числа d1,…,dm и натуральное число m < N2.

Будем исследовать следующие вопросы:

Как расположить числа d1,…,dm в решетке Q, чтобы норма линейного оператора AQ соответствующего решетке (матрице) Q была максимальной?

Пусть в неотрицательной решетке Q m положительны

х элементов. Как расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного оператора AQ соответствующей полученной решетке была максимальной?

Как расположить числа d1,…,dm в решетке Q, чтобы спектральный радиус был минимальным (максимальным)?

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1 Пусть d1,…,dm положительные числа, Dm - класс неотрицательных матриц, ненулевые элементы которых принимают значения d1,…,dm. Если m ≤ N, Q0 -произвольная подрешетка размерности 1m, то

.

Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством Коши-Буняковского, получаем

Неравенство в обратную сторону очевидно.

Теорема доказана.

Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше либо равно N, то своего максимума норма достигается когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце.

Теорема 3.2 Пусть d1=…=dm=d, то есть Dm – множество всех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которые равны числу d. Q0 -произвольная решетка, симметричная относительно главной диагонали размерности nn, где n=min{r: r2 ≥ m}. Тогда

,

где [m1/2] - целая часть числа m1/2.

Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AÎDm

.

Пусть Q1 -подрешетка, также симметричная относительно главной диагонали размерности . Тогда для AÎDm, Q1ÌP(A)ÌQ0 имеет место представление

А=А1+А0, где А1,А0ÎDm, Р(А1)=Q1, P(A0)ÌQ1\Q0.

Учитывая, что матрицы А0 и А1 неотрицательны, получаем

,

поэтому r(A0)≤r(A).

С другой стороны А1 – симметричная матрица и следовательно

.

Таким образом,

.

Теорема доказана.

Теорема 3.3 Пусть множество GÌQ, где Q - решетка размерности nn таково, что, если (k,l)ÎG, то (l,m),(n,k)ÏG для всех n,mÎ{1,2,…,N}.

Тогда, если P(A)ÌG, то r(P(A))=0.

Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевыми элементами из G (т.е. P(A)ÌG) имеет место равенство А2=0, т.е. А – нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное значение 0.

Теорема доказана.

Теорема 3.4 Пусть AÎDm. Пусть Q0 -минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q0ÉP(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A.

Пусть Ad – матрица, полученная из матрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда

Доказательство.

Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы, то можно считать, что решетка A0={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m} расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть добавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i0,j0) вне решетки Q0. Возможны три случая:

1) 1 ≤ i0 ≤ l, j0 > m;

2) i0 > l, 1 ≤ j0 ≤ m;

3) i0 > l, j0 > m.

Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент и мы можем предположить, что a1m=0. Получаем:

Используя неравенства

,

имеем:

Пусть z1=x1, z2=x2,…,zm=и

,

тогда

где элемент имеет координаты (1,m).

Следовательно

Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элемент соответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, что от перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что al1=0. Аналогично первому случаю имеем:

.

Используя неравенства

,

получаем:

.

Пусть z1=y1, z2=y2,…,zm=и

,

тогда

где элемент имеет координаты (l,1). Следовательно

Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк и столбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что alm=0. Рассуждая также, как и в предыдущих случаях, получаем:

 Скачать реферат