Математический анализ. Практикум

Пример 38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и .

Решение: Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение

Итак, точки пересечения

и .

Площадь фигуры найдем, используя формулу

.

В нашем случае

Ответ: площадь равна (квадратных единиц).

Глава 4. Функции нескольких переменных

4.1 Основные понятия

Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

Определение. Областью определения функции z называется совокупность пар , при которых функция z существует.

Область определения функции двух переменных представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Oxy. Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E3. Например:

Рис.1

Пример 39. Найти область определения функции.

а)

Выражение, стоящее в правой части имеет смысл только при . Значит, область определения данной функции есть совокупность всех точек, лежащих внутри и на границе круга радиуса R с центром в начале координат.

б) .

Область определения данной функции – все точки плоскости , кроме точек прямых , т.е. осей координат.

Определение. Линии уровня функции – это семейство кривых на координатной плоскости , описываемое уравнениями вида .

Пример 40. Найти линии уровня функции .

Решение. Линии уровня данной функции – это семейство кривых на плоскости , описываемое уравнением

, или .

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке О1(1, 1) радиуса . Поверхность вращения (параболоид), описываемая данной функцией, становится «круче» по мере ее удаления от оси, которая задается уравнениями x = 1, y = 1. (Рис. 4)

Рис.4

4.2 Пределы и непрерывность функций нескольких переменных.

1. Пределы.

Определение. Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для каждого сколь угодно малого числа найдется такое число , что для любой точки верно условие , также верно условие . Записывают: .

Пример 41. Найти пределы:

т.е. предел зависит от , а, значит, он не существует.

2. Непрерывность.

Определение. Пусть точка принадлежит области определения функции . Тогда функция называется непрерывной в точке , если

(1)

причем точка стремится к точке произвольным образом.

Если в какой-либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции . Это может быть в следующих случаях:

1) Функция не определена в точке .

2) Не существует предел .

3) Этот предел существует, но он не равен .

Пример 42. Определить, является ли данная функция непрерывной в точке , если .

Получили, что значит, данная функция непрерывна в точке .

 Скачать реферат