Математический анализ. Практикум

Пример 18.

а) Найти производную второго порядка функции .

Решение. Найдем сначала производную первого порядка .

От производной первого порядка возьмем еще раз производную height=21 src="images/referats/3128/image139.png">.

Пример 19. Найти производную третьего порядка функции .

Решение.

.

2.4 Исследование функций

2.4.1 План полного исследования функции:

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Асимптоты:

- найти вертикальные асимптоты , если ;

- найти наклонные асимптоты: .

Если любое число, то – горизонтальные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

- найти критические точки, те. точки в которых или не существует;

- определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых и убывания функции – ;

- определить экстремумы: точки, при переходе через которыеменяет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.

4. Исследование с помощью :

- найти точки, в которых или не существует;

- найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых и вогнутости – ;

- найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые меняет знак.

5. Построение графика функции.

Рекомендации по применению плана исследования функции:

1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.

2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.

3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).

4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

2.4.2 Примеры исследования функции:

20. .

1)

2) Функция нечетная:

.

3) Асимптоты.

– вертикальные асимптоты, т.к.

Наклонная асимптота .

5)

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

21.

1)

2) Функция нечетная:

3) Асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные:

– наклонные асимптоты

4) – функция возрастает.

5) ,

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

22.

1)

2) Функция общего вида

3) Асимптоты

– наклонных асимптот нет

– горизонтальная асимптота при

4)

– точка перегиба

Схематичный график данной функции:

23.

1)

 Скачать реферат