Математический анализ. Практикум

Пример 31.

б) замена в интеграле вида:

;

Приме

р 32.

Пример 33.

4. Метод интегрирования по частям:

Пример 34.

Пример 35.

Возьмем отдельно интеграл

Вернемся к нашему интегралу:

3.2 Определенный интеграл

3.2.1 Понятие определенного интеграла и его свойства

Определение. Пусть на некотором интервале задана непрерывная функция . Построим ее график.

Фигура, ограниченная сверху кривой , слева и справа прямыми и снизу отрезком оси абсцисс между точками a и b, называется криволинейной трапецией.

S – область – криволинейная трапеция.

Разделим интервал точками и получим:

Интегральная сумма:

Определение. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы.

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c :

4. Если на отрезке , то и

5. Пределы интегрирования можно менять местами, при этом меняется знак интеграла:

6.

7. Интеграл в точке равен 0:

8.

9. (“о среднем”) Пусть y = f(x) – функция, интегрируемая на [a,b]. Тогда , где , f(c) – среднее значение f(x) на [a,b]:

10. Формула Ньютона-Лейбница

,

где F(x) – первообразная для f(x).

3.2.2 Методы вычисления определенного интеграла.

1. Непосредственное интегрирование

Пример 35.

а)

б)

в)

д)

2. Замена переменных под знаком определенного интеграла.

Пример 36.

2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пример 37.

а)

б)

в)

д)

3.2.3 Приложения определенного интеграла

 Скачать реферат