Деформация сдвига. Геометрические характеристики плоских сечений. Кручение стержней с круглым поперечным сечением

Элементарная внутренняя сила, действующая в плоскости сечения на площадку dA с напряжением τρ равна dQ = τρ·dA. Элементарный момент внутренних сил, действующий в плоскости сечения, т.е. элементарный крутящий момент, создаваемый силой dQ относительно центра сечения dT = ρdQ. Сумма этих моментов внутренних сил по всей площади поперечного сечения

стержня равна крутящему моменту

.

Так как G = const и dφ/dx = const, то

, (24)

где Ip – полярный момент инерции сечения.

Выразим величину угла закручивания, отнесенного к единице длины стержня

dφ/dx = T/GIp. (25)

с учетом формулы (25) примет вид

τρ = (T/Ip) ·ρ. (26)

При инженерных расчетах интерес представляют наибольшие напряжения в сечении, т.е. напряжения на поверхности стержня при ρ = d/2,

, (27)

где Wp = 2Ip/d– полярный момент сопротивления – отношение полярного момента инерции Ip сечения к расстоянию от наиболее удаленной точки сечения до центра масс.

Полярный момент сопротивления для стержня круглого сечения диаметром d равен Wp ≈ 0,2d3, а для стержня кольцевого сечения с внутренним диаметром d1 – Wp ≈ [0,2(d3 – d14/d)].

Условие прочности стержня при кручении с постоянным по длине поперечным сечением имеет вид

τmax = Tmax/Wp≤ τadm, (28)

где Тmax – максимальный крутящий момент по длине деформируемого стержня; τadm – допускаемое напряжение при кручении, для стали обычно равно 0,5 … 0,6 допускаемого напряжения σadm при растяжении. Предельный из условия прочности крутящий момент определяют по формуле

Tu ≤ Wp·τadm, (29)

а минимальный диаметр скручиваемого стержня, учитывая что Wp = = 0,2d3 ≥ Tmax/τadm равен

d ≥ . (30)

При сравнении стержней, выдерживающих одинаковый крутящий момент, т.е. имеющих поперечное сечение с равным полярным моментом сопротивления Wp, стержень с наименьшей площадью А поперечного сечения будет обладать меньшей массой. Для сравнения различных сечений применяют безразмерную величину, равную отношению Wp / . Чем больше эта величина, тем рациональнее по затратам материала сечение. Так, для швеллера, двутавра она равна 0,04 … 0,07, а для круглого кольца с отношением внутреннего диаметра к внешнему равному 0,9 – она равна 1,16. При кручении рациональным является использование стержней с круглым кольцеобразным сечением.

Определение деформаций при кручении стержней с круглым поперечным сечением

Деформация при кручении стержней определяется углом поворота поперечных сечений относительно начального положения. Воспользуемся формулой для выражения угла поворота сечения скручиваемого стержня на участке длиной dx

dφ = (Tdx)/GIp. (31)

Полный угол закручивания на участке длиной ℓ равен

. (32)

Если крутящий момент T и величина GIp, называемая жесткостью при кручении, постоянны на всей длине ℓ, то полный угол закручивания в радианах будет равен

. (33)

Расчет стержней на прочность при кручении не исключает возможности возникновения недопустимых деформаций (углов поворота поперечных сечений) при целостности длинных стержней (деталей). Поэтому часто детали, испытывающие деформацию кручения, рассчитывают не только на прочность, но и на жесткость. Для обеспечения требуемой жесткости необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого, т.е.

(dφ/dx) = ≤ (dφ/dx)adm, (34)

где (dφ/dx)adm – допускаемый относительный угол закручивания в радианах на единицу длины стержня. Чаще (dφ/dx)'adm задают в градусах на метр длины, тогда выражение будет иметь вид

(dφ/dx)'adm. (35)

Величину (dφ/dx)'adm выбирают в зависимости от назначения детали и ее размеров. В приборостроении (dφ/dx)'adm принимают в пределах 20 угловых минут на длине 1 м, т.е. (dφ/dx)'adm. =0,33 |º/м|. Из условия жесткости можно определить минимальный диаметр деформируемого стержня, учитывая, что Ip ≈ 0,1d4

(36)

или предельный по величине крутящий момент

Tu ≤19 GIp. (37)

При совместных расчетах на прочность и жесткость при кручении диаметр стержня принимают равным наибольшему из найденных, а предельный крутящий момент Тu ограничивают наименьшим, полученным при проверке по зависимостям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красковский Е.Я., Дружинин Ю.А., Филатова Е.М. Расчет и конструирование механизмов приборов и вычислительных систем: Учебное пособие. М.: – Высш. шк., 2001. – 480 с.

2. Сурин В.М. Техническая механика: Учебное пособие. – Мн.: БГУИР, 2004. – 292 с.

3. Ванторин В.Д. Механизмы приборных и вычислительных систем: Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 1999. – 415 с.

 Скачать реферат