Линейные и квадратичные зависимости, функция х и связанные с ними уравнения и неравенства

2) Установлено, что уравнение имеет ровно четыре пары целых решений. Неравенству x < y, удовлетворяют только две пары: (9; 26) и (15;38).

3) Выясним при каких а эти две пары из пункта 2) удовлетворяют условию: .

(9; 26):

(15; 38):

						0		а

Из чертежа видно, что для задача не имеет целых решений; для - лишь одна целая пара (9; 26) удовлетворяет всем условиям; при имеются две пары целых чисел, удовлетворяющих задаче (9; 26) и (15; 38).

Ответ. .

1.11 Равносильность и следствия в задачах с квадратным трехчленом

В некоторых задачах вступительного экзамена требуется не просто исследовать расположение корней квадратного трехчлена, а выяснить, при каких значениях параметра выполняется то или иное логическое высказывание, связанное с решением уравнения или неравенства.

Рассмотрим сначала в общем виде одну из типичных задач:

1. Найти все значения параметра а, при которых неравенство:

выполняется для всех . (2)

В ином виде данная задача может сформулирована так:

Найти все значения параметра а, при которых из условия (2) следует неравенство (1).

Выскажем то же самое на языке теории множеств:

Обозначим символом А множество решений неравенства (1), а символом В множество, заданное условием (2) (условие (2) может быть наложено в виде требования решить некоторое неравенство или уравнение).

Тогда задачу можно сформулировать следующим образом:

Найти все значения параметра а, при которых выполнено включение .

После такого осмысления задачи становится ясен алгоритм ее решения. Рассмотрим следующие три случая:

1) >0, тогда после приведения левой части неравенства (1) получаем:

Геометрически требуемое включение изображается следующим образом:

Алгебраически точки c и d должны находится между корнями рассматриваемой параболы, что позволяет применить теорему 7.

2) 0, тогда неравенство (1) становится линейным:

0 (4)

Геометрическая интерпретация в этом случае выглядит следующим образом (два случая):

Рис. 1. Рис. 2.

Алгебраически этот случай сводится к решению совокупности двух систем:

3) 0, тогда неравенство (1) после приведения принимает вид:

Вновь дадим сначала геометрическую интерпретацию включения (три случая):

Рис. 3. Рис. 4.

 Скачать реферат