Линейные и квадратичные зависимости, функция х и связанные с ними уравнения и неравенства

Система (2) равносильна совокупности двух систем:

х3 будет решением, если справедлива система

х4 будет решением, если справедливо неравенство:

Итоговый ответ удобно получить графически. Для этого изобразим на оси параметра промежутки значений а, для которых являются решениями значения

Рис. 4.

Из рис. 4 видно, что, например, корень х4 является решением уравнения для (нестрогое неравенство соответствует отсутствию стрелки в точках а = 0 и а = 2), а корень х1 является решением при (точки а = 0 и а = 2 не входят в интервал поэтому изображение корня х1 снабжено стрелками в точках -2 и 0).

Рис. 4 позволяет сразу выписать при каждом значении а все решения уравнения.

При а = 0:

При 0 < а < 2: решений нет

При а = 2:

Дадим теперь ответ на поставленный в условии вопрос:

Ответ. Уравнение имеет ровно три корня:

Вопрос. Объясните себе, почему невозможно совпадение корней с различными индексами; например, почему невозможно равенство: при и т.п.? Ведь, если бы это было возможным, то ответ задачи мог бы быть более широким.

Конечно, следует отдавать себе отчет, что при ответе непосредственно на вопрос задачи можно было бы упростить решение, сразу же опираясь на рис. 4, но мы сознательно включили данную задачу в более широкую.

Решить уравнение при всех значениях параметра а.

Такой подход позволяет ответить и на другие, связанные с задачей, вопросы:

1. Какое максимальное число решений может иметь данное уравнение, и при каких а это число реализуется?

2. При каких а уравнение не имеет решений?

3. При каких а уравнение имеет не менее трех решений и т.п.?

Пример 3. При всех а решить уравнение и определить, при каких а оно имеет ровно два решения.

Решение. Вновь используем предложенный алгоритм.

Определим знаки выражений под модулями, построив схему знаков:

Рис. 5.

Теперь ясно, что данное уравнение равносильно совокупности трех систем.

Исследуем разрешимость линейных уравнений в системах 1), 2), 3), пользуясь алгоритмом из главы 1.

Если а = -1, то все числа являются решениями, при х1 = -3, и корень х1 не удовлетворяет условию

Ответ1: при а = -1 ; при остальных а система 1) решений не имеет.

Если а = 1, то -3; если х1 = -3

Ответ2: при а = 1 -3 при х1 = -3

Если а = -1, то решений нет; если х2 = , что является решением системы 3), если справедливо неравенство

Ответ3: при -1 < а1 х2 = ; при остальных а система 3) решений не имеет.

Изобразим результат исследования графически на оси параметра а, как и в предыдущем примере.

		-1		1

Ответ.

Уравнение имеет ровно два решения при

Пример 4. Найти наименьшее значение функции

Применяя изложенный выше алгоритм, получим:

Вновь изобразим диаграмму знаков.

Рис. 6.

Теперь алгебраическая запись данной функции на различных участках числовой оси выглядит следующим образом:

 Скачать реферат