Линейные и квадратичные зависимости, функция х и связанные с ними уравнения и неравенства

Наконец, построим график, который является объединением прямолинейных отрезков и лучей (частей графиков соответствующих (1) линейных функций).

Очевидно, что наименьшее значени

е функции равно , при х = .

Пример 5. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости соотношением:

Решение.

Разобьем координатную плоскость ХОY на три области, соответствующие различным комбинациям знаков подмодульных выражений под знаком модуля (что является аналогом схемы знаков для выражений с одной переменой).

Рис. 6.

Парабола разбивает координатную плоскость на две области, в одной из которых (область I на рис. 6 заштрихована горизонтальными прямыми) выражение , а в оставшейся части плоскости .

Аналогично, парабола разбивает координатную плоскость на две другие части, в одной из которых (область III на рис. 6 не заштрихована) выражение , а в оставшейся части плоскости

.

Окончательно вся координатная плоскость разбита на три области I, II, III. В области II справедливо двойное неравенство

.

Получив схему знаков, дальнейшее решение задачи мы проведем, руководствуясь общим алгоритмом. Задающее фигуру неравенство равносильно совокупности трех систем:

Множество точек, задаваемое системой I, изображена в виде заштрихованной области на рис. 7.

Рис. 7.

Множество точек, задаваемое системой II, изображена в виде заштрихованной области на рис. 8.

			х

Рис. 8.

Решение системы III заштриховано на рис. 9.

Объединяя заштрихованные области на рис. 7, рис. 8 и рис. 9, мы получаем геометрическое изображение фигуры, заданной условием задачи (рис. 10).

			х

Рис. 10.

Теперь ясно, что заданная фигура есть трапеция ABCD с основаниями AC и BD и высотой PQ.

PQ = 2-(-1) = 3; BD = 2- (-2) = 4.

Ответ.

Обратим внимание читателя на то, что некоторые уравнения и неравенства со знаком модуля легко решаются с использованием геометрического смысла выражения |x – a|.

Например, уравнение |x – 3| = 2 равносильно требованию найти все числа х на вещественной оси, отстоящие от числа 3 на расстоянии 2.

		1		3		5

Теперь очевидно х1 = 1; x = 5.

В более общем, уравнение

если A = 0, то

Этот же подход удобен при решении неравенств, содержащих один модуль:

если A < 0, то решений нет; если А

В частности, в курсах высшей математики обычно используют следующее неравенство:

- интервал с центром в точке а, длины ; его обычно называют

Аналогично:

если A < 0, то неравенство верно для всех х из области определения функции то неравенство равносильно требованию

 Скачать реферат