Нестандартный анализ

Порядок на R архимедов, а на *R неархимедов: это значит, что в R аксиома Архимеда выполняется, а в *R не выполняется. По этой причине стандартный (обыч­ный) анализ, изучающий R, называется еще архимедо­вым, а нестандартный анализ, изучающий *R, называ­ют неархимедовым.

Для построения нестандартного анализа необхо­димо расширить множество действительных чисел до бо­лее широкого множества гип

ердействительных чисел.

Но прежде поговорим о самих действительных числах и их происхождении.

До сих пор мы предполагали известным по­нятие действительного числа. Понятие действительного числа имеет долгую историю, начавшуюся еще в древней Греции (о чем на­поминает название “аксиома Архимеда”) и закончившу­юся лишь вXIX веке. Самой первоначальной и основной числовой системой является, конечно, система натуральных чисел. Натуральных чисел, однако, оказывается мало: пы­таясь решить уравнение 3 + х = 2 в натуральных чис­лах, мы обнаруживаем, что оно не имеет решений и на­ше желание определить операцию вычитания оказывается неудовлетворенным. Поэтому мы расширяем множе­ство натуральных чисел до множества целых чисел. В этой процедуре для нас сейчас важно следующее: каким образом мы оп­ределим сложение и умножение на целых числах? То, что 2 + 2 == 4, можно увидеть, сложив две кучи по два яблока в одну. Но почему мы считаем, что (-2)+(-2)=(-4)? Почему мы считаем, что (-1)(-1)=1?

Эти вопросы не так тривиальны, как может показаться. Найти правильный ответ будет легче, если сформулировать вопрос иначе: что плохого произой­дет, если мы будем считать, например, что (-1)(-1)=(-1)? Ответ прост: в этом случае хорошо известные свой­ства сложения и умножения натуральных чисел (комму­тативность, ассоциативность и др.) не будут выполнять­ся для целых чисел. Можно показать, что обычное определение операций над отрицательными числами единственно возможное, если мы хотим сохранить привычные свойства операций сложения и умножения.

Тут следует остановиться: какие же именно свойства сложения и умножения мы хотим сохранить? Ведь если бы мы хотели сохранить все свойства, то введение отрицательных чисел было бы не только излишне, но и вредно: свойство “уравнение х+3=2 не имеет решений”, верное для натуральных чисел, становится неверным для целых! Если же мы ничего не хотим сохра­нить, то задача становится столь же легкой, сколь и пустой: можно определить операции с отрицательными числами как угодно.

Возвращаясь к истории развития понятия числа, мы видим, что введение отрицательных чисел не доставляет полного удовлетворения: уравнение 2x=3 по-прежне­му не имеет решения. Это побуждает ввести рациональ­ные (дробные) числа. Но и этого недостаточно: от раци­ональных чисел приходится перейти к действительным. В результате получается последовательность множеств NÌZÌQÌR (натуральных, целых, рациональных и действительных чисел; АÌ В означает, что всякий элемент множества А принадлежит множеству B. В этой последовательности каждое следующее множество вклю­чает в себя предыдущее, при этом имевшиеся в предыду­щем операции продолжаются на следующее, более широкое, множество, сохраняя свои полезные свойства.

Мы хотим продолжить эту последовательность еще на одни член, получив последовательность NÌZÌQÌRÌ*R, где *R – множество гипердействительных чисел. Новый шаг расширения будет иметь много общего с предыдущими: мы продолжим на *R имеющиеся в R операции, сохранив их полезные свойства. Но будут и 2 важных отличия.

Во-первых, если расширение (переход от R к *R) можно выполнить многими различными способами: можно построить существенноразличные множества *R, ни одно из которых ничем не выделяется среди остальных. В то жо время, все предыдущие шаги нашего расширения число­вой системы от N к R были в некотором смысле од­нозначны.

Во-вторых, есть различие в наших целях. Ес­ли прежде (двигаясь от N к R) мы строили новую числовую систему прежде всего для того, чтобы иссле­довать ее свойства и ее применения, то построенная си­стема *R предназначается не столько для того, чтобы исследовать ее свойства, сколько для того, чтобы с ее помощью исследовать свойства R. Впрочем различие и не так велико: и раньше расширение числовой системы было одним из способов получения но­вых знаний о старых объектах. Кроме того, множество *R можно рас­сматривать, быть может, как соответствующее физиче­ской реальности в не меньшей (и даже в большей) сте­пени, чем R.

Итак, необ­ходимо расширить множество R действительных чисел до большего множества *R, содержащего бесконечно ма­лые, сохранив при этом все полезные свойства R. Цент­ральный вопрос состоит в том, какие именно свойства действительных чисел мы желаем со­хранить. Ответим на этот вопрос не сразу, начав с на­иболее простых свойств действительных чисел.

Прежде всего, мы хотим, чтобы гипердействительные числа можно было складывать, умножать, вычитать и делить, чтобы эти операции обладали обычными свойст­вами, называемыми «аксиомами поля». Сформулируем их.

Среди гипердействительных чисел должны быть выделены числа 0 и 1; определены операции сложения, умножения взятия противоположного, а также операция взятия обратного. При этом должны выполняться такие свойства:

(1) a+b=b+a (2) a+(b+c)=(a+b)+c (3) a+0=a (4) a+(-a)=0 (5) ab=ba

(6) a(bc)=(ab)c (7) a*1=a (8) a(b+c)=ab+ac (9) a*(1/a)=1 при a<>0.

Множество с операциями, обладающими этими свойствами, называется полем. Требования (1)-(9) можно сформулировать так: *R должно быть полем.

Кромеарифметических операций, зададим на гипердействительных числах порядок. Для любых двух различных гипердействительных чисел должно быть определено какое из них больше. При этои должны выполняться такие свойства:

(10) если a>b, b>c, то a>c

(11) если a>b, то a+c>b+c для любого с

(12) если a>b, c>0, то ac>bc

если a>b, c<0, то ac<bc

Поле, в котором введен порядок с такими свойствами, называется упорядоченным полем. Требования (10)-(12) можно сформулировать так: *R должно быть упорядоченным полем.

Мы хотим, чтобы среди гипердействиетльных чисел были все действительные. При этом операции и порядок на R и на *R должны быть соглсованы. Это требование можно сформулировать так: упорядоченное поле *R должно быть расширением упорядоченного поля R.

Что же нового мы ожидаем от *R? Бесконечно малых.

Определение. Элемент e>=0 упорядоченного поля называется бесконечно малым, если e<1, e+e<1. e+e+e<1 и т.д. Отрицательное e называется бесконечно малым, если –e бесконечно мало.

Существование ненулевых бесконечно малх равносильно нарушению аксиомы Архимеда для гипердействительных чисел. Упорядоченные поля, в которых справедлива аксиома Архимеда и нет бесконечно малых, называют архимедово упорядоченными. Те поля, в которых аксиома Архимеда невернаи есть бесконечно малые, называют неархимедово упорядоченными (неархимедовым).

В этих терминах треюования можно сформулировать так: система гипердействительных чисел должна быть неархимедово упорядоченным полем, являющимся расширением упорядоченного поля действительных чисел.

 Скачать реферат