Нестандартный анализ

Приложения нестандартного анализа в математике охватывают обширную область от топологии до теории дифференциальных уравнений, теории мер и вероятностей. Что касается внематематических приложений, то среди них мы встречаем даже приложения к математической экономике. Многообещающим выглядит использование нестандартного гильбертова пространства для построения квантовой механики. А в статистической

механике становится возможным рассматривать системы из бесконечного числа частиц. Помимо применений к различным областям математики, исследования в области нестандартного анализа включают в себя и исследование самих нестандартных структур.

В 1976 г. вышли сразу три книги по нестандартному анализу: “Элементарный анализ” и “Основания исчисления бесконечно малых” Г. Дж. Кейслера и “Введение в теорию бесконечно малых” К. Д. Стройана и В. А. Дж. Люксембурга.

Быть может, наибольшую пользу нестандартые методы могут принести в области прикладной математики. В 1981 г. вышла книга Р. Лутца и М. Гозе “Нестандартный анализ: практическое руководство с приложениями”. В этой книге после изложения основных принципов нестандартного анализа рассматриваются вопросы теории возмущений.

В настоящее время нестандартный анализ завоёвывает всё большее признание. Состоялся ряд международных симпозиумов, специально посвященных нестандартному анализу и его приложениям. В течении последнего десятилетия нестандартный анализ (точнее, элементарный математический анализ, но основанный на нестандартном подходе) преподавался в ряде высших учебных заведений США.

3. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины (т. е. не как функции, стре­мящиеся к нулю, как учат современные учебники), а как величины постоянные. Та­кой подход хорошо согласуется как с интуицией естест­воиспытателя, так и с реальной историей зарождения математического анализа. Что касается интуиции, то до­статочно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолк­нуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объемы и т.п. Все эти величины мыслятся, разуме­ется, не как переменные, а просто как очень маленькие, почти равные нулю. Было бы неправильно считать по­добного рода интуицию присущей лишь авторам учебни­ков физики. Вряд ли какой-то математик воспринимает (наглядно) элемент дуги ds иначе, чем “очень маленькую дугу”. Любой математик, составляя соответствующее дифференциальное уравнение, скажет, что за бесконечно малое время dt точка прошла бесконечно малый путь dx, а количество радиоактивного вещества изменилось на бесконечно малую величину dN.

Что же касается истории математического анализа, то в наиболее явной форме излагаемый подход проявил­ся у одного из основоположников этой науки — Лейбни­ца. В мае 1984 г. исполнилось 300 лет с того дня, как символы dx и dy впервые появились на страницах мате­матических публикаций, а именно в знаменитом мемуаре Лейбница “Новый метод .”. Именно Лейбниц яснее других ощущал бесконечно малые величины постоянны­ми (хотя и воображаемыми, идеальными) величинами особого рода, и именно Лейбниц сформулировал правила оперирования с бесконечно малыми в виде ис­числения.

Какие положительные числа следует называть бесконечно малыми?

Первый ответ таков: положитель­ное число e называется бесконечно малым, если оно меньше всех положительных чисел. Однако бесконечно малых в этом смысле положитель­ных чисел не бывает: ведь если число меньше всех положительных чисел и само положительно, оно должно быть меньше самого себя. Попытаемся исправить поло­жение, потребовав, чтобы e было меньше всех других

положительных чисел, но больше нуля, т. е. чтобы e было наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое e должно изобразиться самой левой точкой множества (0, +¥). К сожалению, числа e с указанными свойствами тоже нет и не может быть: если e положительно, то число e/2 будет положительным числом, меньшим e. (Согласно обычным свойствам неравенств для всякого а > 0 выполняются неравенства 0 < а/2 < а). Так что если мы не хотим отказываться от при­вычных нам свойств действительных чисел (напри­мер, от возможности разделить любое число на 2 или от возможности умножить любое неравенство на положи­тельное число), но хотим иметь бесконечно малые чис­ла, то приведенное определение бесконечной малости не годится.

Более изощренное определение бесконечной малости числа e > 0, которое мы будем использовать в дальней­шем, таково. Будем складывать число e с самим собой, получая числа e, e + e, e + e+ e, e + e + e +e и т. д. Ес­ли все полученные числа окажутся меньше 1, то число e и будет называться бесконечно малым. Другими слова­ми, если e бесконечно мало, то сколько раз ни отклады­вай отрезок длины e вдоль отрезка длины 1, до конца не дойдешь. Наше требование к бесконечно мало­му e можно переписать и в такой форме (поделив на e): 1<1/e, 1+1<1/e, 1+1+1<1/e,…

Таким образом, если число число e бесконечно мало, то число 1/e бесконечно велико в том смысле, что оно больше любого из чисел 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т. д. Так что если мы начнем измерять отрезок длиной 1/e с помощью эталона длины (т.е. откладывая последовательно отрезки единичной длины), то процесса измерения никогда не закончим.

Из вышеизложенного следует, что существование бесконечно малых противоречит так называемой аксиоме Архимеда, которая утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно отложить меньший из них (А) столько раз, чтобы в сумме полу­чить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (В).

Приведенная формулировка касается отрезков; если считать (как это обычно делается), что длины отрезков являются числами, мы приходим к такой формулировке аксиомы Архимеда: для любых двух чисел а и b, для ко­торых 0 < а < b, одно из неравенств а + а > b, a + а + a > b, . обязательно выполнено. В дальнейшем, говоря об аксиоме Архимеда, мы будем иметь в виду имен­но эту формулировку. Из нее видно, что в множестве действительных чисел (где эта аксиома выполняется) бесконечно малых нет: чтобы убедиться в этом, достаточ­но положить a=e, b=1. Мы увидим в дальнейшем, что на самом деле аксиома Архимеда равносильна утвержде­нию об отсутствии бесконечно малых элементов, не рав­ных нулю.

Вывод – если мы хотим рассматривать бесконечно малые, нужно расширить множество R действительных чисел до некоторого больше­го множества *R. Элементы этого нового множества бу­дем называть гипердействительными числами. В нем аксиома Архимеда не выполняется и существуют беско­нечно малые (в смысле последнего определения) числа — такие, что сколько их ни складывай с собой, сумма будет все время оставаться меньше 1. Подобно тому как обыч­ный (или стандартный) математический анализ зани­мается изучением множества действительных чисел R, нестандартный анализ изучает множество гипердействи-тельных чисел *R. Полученные при этом результаты ис­пользуются для исследования свойств R. (Таким обра­зом могут быть получены “нестандартные” доказательст­ва свойств обыкновенных действительных чисел.)

 Скачать реферат