Нестандартный анализ

Чтобы сделать R подмножеством *R, отождествим каждое действительное число х с последовательностью х, х, х, ., точнее, с содержащим ее классом. При этом разным действительным числам соответствуют разные классы: х,x,х … не эквивалентно у,у,y . (множество тех n, при которых n-е члены совпадают, пусто и, следо­вательно, является малым).

Пусть f: R®R – функция с действительными аргу­ментами и зн

ачениями. Определим ее гипердействительный аналог *f: *R® *R. Пусть x – произвольное гипердействительное число, т.е. класс эквивалентных после­довательностей действительных чисел. Рассмотрим про­извольную последовательность x0, x1, x2,… из этого класса и применим f ко всем ее членам. Класс, содержащий по­лученную последоваетльность f(x0), f(x1), f(x2), … и будем считать значением f на х. Полученный класс не зависит от выбора последовательности x0, x1, x2,… в классе x (определение корректно).

Аналогично определяются и гипердействительные ана­логи для функций нескольких аргументов. Пусть, напри­мер, f – функция двух действительных аргументов с дей­ствительными значениями. Определим ее гипердействительный аналог *f. Чтобы применить *f к двум гипердействительным числам х и y, возьмем по­следовательности x0, x1, x2,… и y0, y1, y2,… , им принадлежа­щие, и в качестве *f(х, у) рассмотрим класс последова­тельности f(x0,y0), f(x1,y1), f(x2,y2),… Определение корректно.

Нужно проверить, что построенное гипердействительные аналоги будут продолжениями исходных функций с действительными аргументами и значениями. Это очевидно следует из определений. Проверим теперь, что вся­кая система уравнений и неравенств, имеющая гипердействительные решения, имеет и действительные решения. Пусть, на­пример, система

f(g(x,y),z)=z, h(x)¹h(y)

имеет гипердействительные решения x, y, z. Рассмотрим последовательности x0,x1,x2,…; y0,y1,y2,…; z0,z1,z2,…, при­надлежащие соответствующим классам эквивалентности. Тогда g(x0,y0), g(x1,y1),… принадлежит классу g(x,y), а f(g(x0,y0),z0), f(g(x1,y1),z1),… – классу f(g(x,y),z). Поскольку x,y,z по предположению являются решения­ми системы, то f(g(xn,yn),zn)=zn для большинства п. Поскольку h(x)¹h(y), последовательности h(x0),h(x1),… и h(y0),h(y1),… не эквивалентны и множе­ство тех п, при котором h(xn)=h(yn) малое. Тогда мно­жество тех п, при котором h(xn)¹h(yn) является боль­шим. Так как пересечение двух больших множеств является большим, то множество тех n, при котором

f(g(xn,yn),zn)=zn , h(xn)¹h(yn)

является большим. Значит, оно непусто. Таким образом, система имеет и действительные решения.

Осталось проверить, что среди гипердействительных чисел существуют бесконечно малые, отличные от нуля. Положительным бесконечно малым гипердействительным числом будет, например, класс последовательности 1, 1/2, 1/3, .,. (или любой другой последовательности положи­тельных действительных чисел, сходящейся к 0). Нам нужно проверить, что это гипердействительное число (обозначим его через e) положительно, но меньше любого стандартного положительного числа. Чтобы доказать это, мы должны вспомнить, как определяется порядок на мно­жестве гипердействительных чисел. Он определяется в со­ответствии с общей схемой построения гипердействительного аналога для любого отношения на множестве дей­ствительных чисел. Нужно взять функцию f двух дей­ствительных аргументов, для которой свойства f(x,y)=0 и х<у равносильны, и рассмотреть ее гипердействительный аналог *f. Гипердействительное число х называется меньшим гипердействительного числа у, если *f(x,y)=0. Посмотрим, что дает нам эта конструкция для построен­ной описанным способом системы гипердействительных чисел. Если х – класс последовательности x0,x1,x2,…, а y – класс последовательности y0,y1,y2,…, то *f(x,y) есть класс последовательности f(x0,y0), f(x1,y1), f(x2,y2), … Равенство этого класса нулю (т. е. классу последовательности 0, 0, 0, .) означает, что f(xn,yn)=0 для большинства n, т. е. что xn<yn для большинства п. Таким образом, чтобы выяс­нить, верно ли х<у для гипердействительных чисел х и y, нужно взять последовательности x0,x1,x2,…, и y0,y1,y2,… в классах х и у и выяснить, является ли множество тех п, при которых xn<yn большим.

Нам нужно было проверить, что 0<e и что e<р для любого стандартного положительного р (e —класс последовательности 1, 1/2, 1/3, .). Это просто:

0<e, так как 0<1/п при всех п (а множество N большое), e<р, так как 1/n<р для всех натураль­ных n, кроме конечного числа, а всякое множество с ко­нечным дополнением малое (свойство 6 “системы подсче­та голосов”). Отметим, что здесь мы впервые воспользо­вались свойством 6, до сих пор все наши рассуждения были справедливы и в случае “диктатуры” (когда боль­шими считаются те и только те множества, которые со­держат некоторое натуральное число N). В этом случае две последовательности эквивалентны, если совпадают их N-е члены, и все гипердействительные числа стандартны (класс последовательности x0,x1,x2,… совпадает со стан­дартным числом xN).

ЛИТЕРАТУРА

1. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? – М., Наука, 1987. – 128с.

2. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. – М., Мир, 1980.

3. Успенский В.А. Нестандартный, или неархимедов, анализ. – М., Знание, 1983. 61 с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. “Математика, кибернетика” № 8 ).

4. Успенский В.А. Нестандартный анализ // Наука и жизнь, 1984. – №1. – с. 45-50.

5. Робинсон А. Введение в теорию моделей и математику алгебры. пер. с англ. – М., Наука, 1967.

 Скачать реферат