Нестандартный анализ

Приведем теперь некоторые из высказываний Лейб­ница, цитируемых Робинсоном.

“ . Нужно воспринимать бесконечное подобно тому, как это делается в оптике, когда солнечные лучи счита­ются приходящими из бесконечно удаленной точки и по­этому параллельными . И когда имеются различные порядки бесконечного или бесконечно малых, то пони­маются они в том же смысле, в каком земной шар счи­тается точко

й по сравнению с расстоянием до неподвиж­ных звезд, а шарик в наших руках — точкой по сравне­нию с радиусом земного шара, так что расстояние до неподвижных звезд является бесконечно бесконечным или бесконечностью бесконечности по отношению к диаметру шарика. Вместо бесконечно большого или бесконечно малого количества можно взять количество настолько большое или малое, насколько это нужно, чтобы ошибка не превышала заданной. Отличие от архимедовского стиля рассуждений лишь в выражениях, которые у нас более непосредственные и лучше приспособлены для искусства изобретать”.

“ .Если кто-то не желает рассматривать бесконечно большие и малые в строго метафизическом смысле, как реально существующие, он можег пользоваться ими как «идеальными понятиями», которые сокращают рассужде­ния, подобно мнимым корням в обычном анализе . Таким же образом представляют более трех измерений .— все это для установления идей, спо­собных сокращать рассуждения и основывающихся на реальностях.

Не следует все же воображать, что наука о бесконеч­ном унижается этим объяснением и сводится к фикциям, ибо постоянно остается, говоря языком схоластики, синкатегорематическая бесконечность. Например, остается верным, что 2 равно 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 и т. д., что есть бесконечный ряд, в котором содержатся сразу все дроби с числителем 1 и со знаменателями, образующими удваивающуюся геометрическую прогрес­сию, хотя здесь употребляют все время лишь обыкновен­ные числа и хотя не вводят никакой бесконечно малой дроби или дроби с бесконечным знаменателем . Правила конечного сохраняют силу в бесконечном, как если бы существовали атомы ., хотя они вовсе не существуют, ибо материя в действительности делима без конца и, наоборот, правила бесконечного сохраняют силу в конеч­ном, как если бы имелись метафизические бесконечно малые, хотя в них и нет нужды и хотя деление материи никогда не приходит к бесконечно малым частицам. Это объясняется тем, что все управляется разумом и что ина­че совсем не было бы ни науки, ни правила, а это не согласовалось бы с природой верховного начала”. (Это высказывание Лейбница можно при желании рассматривать как формулировку принципа переноса, что дает еще одно основание называть его также “принципом Лейбница”.)

“ .Несравнимыми величинами я называю такие, одна из которых никогда не сможет превзойти другую, на ка­кое конечное число ее бы ни помножили, так же как это понимает Евклид .”.

Приведем еще несколько цитат (на этот раз отсутст­вующих в монографии Робинсона).

“ .новый Анализ бесконечных рассматривает не линии и не числа, но величины вообще, как это делает обыкновенная Алгебра. Этот Анализ содержит новый алгоритм, т. е. новый способ складывать, вычитать, умно­жать, делить, извлекать корни, соответствующий не­сравнимым величинам, т. е. тем, которые бесконечно велики или бесконечно малы в сравнении с другими .”

Методы Лейбница господствовали в Европе в течение более чем 50 лет. Однако во второй половине XVIII столетия начались поиски альтернативных путей построения анализа. Лагранж предлагал рассматривать разложения функций в степенные ряды, предполагая, что любая или почти любая функция может быть разложена в такой ряд. Даламбер предлагал понятие предела в качестве исходного для построения математического анализа. Он писал:

“Говорят, что одна величина лявляется пределом дру­гой, если вторая может приблизиться к первой ближе, чем на любую заданную величину . Теория пределов яв­ляется основанием подлинной Метафизики дифферен­циального исчисления . В дифференциальном исчислении речь идет не о бесконечно малых величинах, как это обычно утверждают; речь идет лишь о переделах конечных величин . Термином “бесконечно малая» пользуются лишь как сокращением …»

Эти высказывания даламбера выглядят как изложение современной точки зрения на пределе. Можно было бы предположить, что с этого времени понятие бесконечно малых будет полностью устранено. Это, однако, не так. Коши, рассматриваемый обычно как основатель современного подхода к построению ана­лиза, использует понятие бесконечно малой величины. Пытаясь объяснить в современных терминах, что Коши называет “величиной”, можно предположить, что величи­на — это функция с действительными значениями, опре­деленная на упорядоченном множестве без наибольшего элемента. Коши, однако, отнюдь не сводит величины к функциям. Наоборот, он говорит о функции как о соот­ношении, связывающем две величины. В его изложении бесконечно малые и пределы фигурируют как равноправ­ные компоненты обоснования анализа.

2. РОБИНСОН И «НОВАЯ ИСТОРИЯ» НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА

В 1961 г. по­явилась статья А. Робинсона «Нестандартный анализ» в Трудах Нидерландской академии наук. В статье намечены как основные положения нестандартного анализа, так и некоторые его приложения (например, к аналитической механике). В этой статье Робинсон, в частности, писал: “Наша главная цель – показать, что эти модели дают естественный подход к старой почтен­ной проблеме построения исчисления, включающего бес­конечно большие и бесконечно малые количества. Как хорошо известно, использование бесконечно малых, на­стойчиво защищаемое Лейбницем и без колебании при­нимаемое Эйлером, было дезавуировано с появлением методов Кошн, поставивших математический анализ на твердую основу”.

Итак, до 1961 г. понятие бесконечно малой поятоянной величины, бесконечно малого числа, интерпретирова­лось как в лучшем случае нестрогое, а в худшем — бес­смысленное. Робинсон впервые обнаружил, что это­му понятию можно придать точный математический смысл.

В течение последующих восьми лет вышли в свет три монографии, излагающие нестандартную теорию: в 1962 г.– книга У. Л. Дж. Люксембурга “Нестандарт­ный анализ. Лекции о робинсоновой теории бесконечно малых и бесконечно больших чисел”, в 1966 г.— книга самого А. Робинсона “Нестандартный анализ”, в 1969 г. — книга М. Маховера и Дж. Хиршфелда “Лек­ции о нестандартном анализе”] (из 77 страниц этих “Лекций” действительной прямой отведено немногим болеее двух: «нестандартный анализ» понимается здесь в самом широком смысле).

Наибольший резонанс вызвала книга Робинсона. В девяти первых главах этой монографии содержалось как построение необходимого логико-математического аппарата, так и многочисленные приложения – к дифференциальному и интегральному исчислению, к общей топологии, к теории функций комплексного переменного, к теории групп Ли, к гидродинамике и теории упругости.

В 1966 г. появилась статья А.Р. Бернстейна и А. Робинсона, в которой впервые методами нестандартного анализа было получено решение проблемы инвариантных пространств для полиномиально компактных операторов. В очерке П.Р. Халмоша “Взгляд в гильбертово пространство” в качестве проблемы фигурирует поставленная К.Т. Смитом задача о существовании инвариантного подпространства для таких операторов Т в гильбертовом пространстве , для которых оператор компактен. А.Р. Бернстейном и А. Робинсоном методами нестандартного анализа было доказано, что любой полиномиально компактный оператор в гильбертовом пространстве имеет нетривиальное инвариантное замкнутое подпространство.

 Скачать реферат