Нестандартный анализ

4. ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ

Предположим, что неархимедово расширение упорядоченного поля действительных чисел существует. Исследуем его свойства.

Пусть *R – неархимедово расширение R. Его элементы называются гипердействительными числами. Среди них содержатся и все действительные числа. Для отличия тех гипердействительных чисел, которые не являются действительными (элементы R) назове

м их стандартными, а остальнгые гипердействительные (элементы *R\R) – нестандартными. Тогда бесконечно малые являются нестандартными, так как среди действительных чисел бесконечно малых нет.

Бесконечно малые положительные числа меньше всех стандартных положительных чисел. Аналогичным образом отрицательные бесконечно малые числа больше всех стандартных отрицательных чисел. Таким образом, если пытаться изобразить бесконечно малые числа на числовой прямой, то пришлось бы втиснуть их настолько близко к нулю, чтобы все положительные стандартные числа оказались справа, а отрицательные – слева.

Указанное свойство может служить определением бесконечной малости: если число e>0 меньше всех стандартных положительных чисел, то оно бесконечно мало.

Определение. Гипердействительное число А>0 называется бесконечно большим, если А>1, А>1+1, А > 1+1+1, .…(Отрицательное число В называется бесконечно боль­шим, если таков его модуль)

Положительное бес­конечно большое число А больше любого стандартного.

Аналогичным образом всякое отрицательное бес­конечно большое гипердействительное число меньше лю­бого стандартного.

Определение. Гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, будут называться конечными.

Утверждение. Если s – конечное гипердействительное число, то найдутся стандратное v и бесконечно малое e, для которых s=v+e. Такое представление единственно.

Определение. Стандартной частью st(x) конечного гипердействительного числа x называется такое стандартное v, что x=v+e для бесконечно малого e.

Гипердействительная прямая разбивается на 3 части (слева направо): отрицательные бесконечно большие, конечные, положительные бесконечно большие. Рассмотрим «конечную часть» гипердейсьвительной прямой. Рядом с каждым стандартным действительным числом а расположено множество бесконечно близких к нему гипердействительных чисел, для которых а является стандратной частью. Это множество называют монадой стандартного числа а. Множество конечных гипердействительных чисел разбито на непересекающиеся классы – монады, соответствующие стандартным действительным.

Сумма и разность бесконечно малых бесконечно малы, произведение бесконечно малого и конечного гипердействительных чисел бесконечно мало.

Определение. Два гипердействительных числа называются бесконечно близкими, если их разность бесконечно мала.

Из приведенных выше свойств бесконечно малых следует, что отношение бесконечной близости есть отношение эквивалентности. Это означает, что отношение бесконечно близости рефлексивно (каждое x бесконечно близко самому себе), симметрично (если x бесконено близко к y, то y бесконечно близко к x) и транзитивно (если x бесконено близко к y, а y бесконечно близко к z, то x бесконечно близко к z). Всякое отношение эквивалентности разбивает множество, на котором оно определено на непересекающиеся классы, причем любые два элемента одного класса эквивалентны, а любые два элемента разных классов не эквивалентны. В частности, наше отношение разбивает *R на непересекающиеся классы, причем элементы одного класса бесконечно близ­ки друг к другу, а элементы разных классов — нет. Классы, содержащие стандартные действительные числа, представляют собой упоминавшиеся выше «монады».

5. ПРИМЕР НЕАРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЫ

До сих пор речь шла о гипердействительной прямой (а точнее, любом неархимедовом расширении упоря­доченного поля действительных чисел). Возникает во­прос – существует ли хотя бы одно такое распшрение. Построим такое расширение.

Ос­новная идея этого построения может быть описана в од­ной фразе так: у нас нет объектов, но есть имена для них; так объявим же имена объектами! Эта (часто при­меняемая в математической логике) идея конкретизиру­ется в нашем случае следующим образом.

Мы знаем, что в нашем (пока еще не построенном и неизвестно существующем ли) расширении должно быть хотя бы одно бесконечно малое положительное гипердействительное число. Обозначим его через e. Поскольку гипердействительные числа можно умножать друг на дру­га (и, в частности, на действительные числа), то наряду с e в нашем расширении будут и числа 2e, 0,5e и во­обще все числа вида ae, где а – произвольное стандарт­ное действительное число. Более того, число e можно умножать и на себя, поэтому в нашем расширении бу­дут иметься e2, e3, 2e2, Зe2+2e+1, . и вообще все гипердействительные числа вида Р(e), где P – многочлен со стандартными действительными коэффициентами.

Множество чисел такого вида замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. Это значит, что, складывая, вычитая или перемно­жая два числа такого вида, мы вновь получим число та­кого же вида. Но для гипердействительных чисел опре­делено еще и деление. Поэтому в расширении будут и числа вида Р(e)/Q(e), где P и Q – многочлены со стан­дартными действительными коэффициентами. После этого мы получаем множество гипердействптельных чисел, замкнутое относительно всех арифметических операций: складывая, вычитая, умножая или деля две дроби указанного вида по обычным правилам, получаем дробь та­кого же вида.

Таким образом, не имея пока искомого расширения, мы уже смогли назвать некоторые его элементы, дать им имена. Этими именами являются записи вида P(e)/Q(e), где e – некоторый символ. Более того, мы можем судить и о том, какая из двух записей обознача­ет большее число. В самом деле, достаточно уметь опре­делять, обозначает ли данная запись положительное, от­рицательное или нулевое число (поскольку а > b тогда и только тогда, когда a-b>0). Знак дроби можно определить по знакам числителя и знаменателя, следовательно достаточно уметь определять знак P(e), где Р – многочлен. Это делается так. Легко ви­деть, что знак величины a0+a1e+… совпадает со зна­ком a0, если a0<>0. В самом деле, добавка a1e+… бес­конечно мала, а складывая положительное (отрица­тельное) число с бесконечно малым, мы получаем положительное (соответственно отрицательное) число. Воз­можен, однако, случай a0=0. Будем считать для опре­деленности, что e – положительное бесконечно малое. Вынесем из нашего многочлена e в наибольшей возмож­ной степени, т. е. представим его в виде ek(ak+ak+1e+…), где ak уже отлично от 0. Знак всего вы­ражения определяется знаком выражения в скобках (при умножении на положительное число знак не меняется), а знак выражения в скобках (как мы уже видели) опре­деляется знаком числа ak

По существу, мы уже построили искомое неархимедо­во расширение. Нужно лишь посмотреть на наши рас­суждения с другой позиции. До сих пор выражения P(e)/Q(e) рассматривались нами как имена «настоящих» гипердействительных чисел (взятых неизвестно откуда). А теперь они станут самими гипердействительными чис­лами. Рассмотрим формальные выражения вида P(e)/Q(e), где e – некоторый символ, P, Q – многочлены с действительными коэффициентами, причем Q<>0. Про­возглашая, что объектами, а в данном случае гипердейст­вительными числами, мы объявим имена, а в данном слу­чае выражения, или записи вида P(e)/Q(e), мы были не совсем точны. Дело в том, что, очевидно, две различ­ные записи могут выражать одно и то же число (иными словами, быть двумя различными именами одного и того же числа): так, например, естественно считать, что за­пись (e2-1)/(e-1) выражает то же самое число, что и (e+1)/1.

 Скачать реферат