Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Тогда

Ответ: 2.

Пример 2.4.2 [24] Найдите период функции

Решение. Преобразуем данное выражение:

height=27 src="images/referats/653/image061.gif">имеет период ;

имеет период .

Тогда функция имеет период

Ответ: π.

Пример 2.4.3 Пусть - периодическая функция с периодом 3 такая, что

; .

Решите уравнение:

(7)

График функции на множестве [0;3) изображен на рисунке 3:

Рисунок 5

Т.к. 3 - период функции , то , тогда уравнение (7) примет вид , рассмотрим два случая.

1) пусть , т.е. , тогда уравнение примет вид:

, значит и значит,

2) пусть то , тогда уравнение примет вид:

; итак ,

т.е. , .

Ответ: .

2.4 Использование четности функции

Функция f (x) называется четной, если для любого выполняются равенства:

1) ,

2) f (–x) = f (x).

График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY. Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x2 + |x|

График четной функции

Функция f (x) называется нечетной, если для любого выполняются равенства:

1) ,

2) f (–x) = –f (x).

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x3.

График нечетной функции

Не следует думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Так, функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y = x3 + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f (–1) ≠ f (1). А это значит, что функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. является функцией общего вида (ФОВ).

Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Таковой суммой является функция

Первое слагаемое является четной функцией, второе – нечетной.

Сравнительная иллюстрация функций разной четности изображена на рисунке 6

Рисунок 6 http://mathematics.ru/courses/function/design/images/buttonModel_h.gif

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.

· Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.

· Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.

· Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.

· Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).

Пример 2.4.1 Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2x8 – 3аx6 + 4x4 – аx2 = 5

иметь 5 корней?

Решение. Обозначим f(x) = 2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2. f(x) – функция четная, поэтому, если x0 – корень данного уравнения, то -x0 – тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Ответ: не может.

2.5 Использование ОДЗ функции

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).

 Скачать реферат