Функция многих переменных

Пример.

Этот пример можно было бы решить и так:

Такой метод интегрирования называется методом введения функции под знак дифференциала.

3. Пусть и(х), v(x) – функции, которые имеют на некотором промежутке непрер

ывные производные. Тогда

d(uv) = udv + vdu

или

udv= d(uv) – vdu.

Интегрируя это равенство, получим

или, учитывая свойство 2 неопределённых интегралов,

.

Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.

Укажем некоторые интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1) в интегралах , где k – натуральное число, за и следует брать хk, а за dv – выражение, которое осталось;

2) в интегралах , следует обозначать dv= хkdx.

Неопределённый интеграл существует для произвольной непрерывной функции f(x), то есть = F(x) +С. Но при этом не всегда первообразная F(x) является элементарной функцией. О таких интегралах говорят, что они ”не берутся”. Например,

= F(x) +С, где F(x) = х - +-+ . .

Не берутся такие интегралы:

- интегральный логарифм, - интегральный синус, - интегральный косинус, , - интегралы Френеля и другие.

В связи с этим важно выделить такие классы функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции. Одним из таких классов функций, интегралы от которых всегда ”берутся”, является класс рациональных функций.

Лекция 13. Тема –Элементарные дроби и их интегрирование.Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.

План.

1. Рациональные функции. Элементарные дроби и их интегрирование.

2. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные дроби.

3. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.

1. Рациональной функцией или рациональной дробью называют дробь

где Рт(х), Qn(x) – многочлены степени т и п:

Qn(x) = хп+хп -1+ .+, Рт(х) = хт+хт -1+ .+.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя т< п, и неправильной, если тп.

Неправильную дробь всегда можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Поскольку многочлены интегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функций сводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби, в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотрим интегрирование элементарных дробей.

Различают четыре вида элементарных дробей:

І., ІІ. , ІІІ. , ІV. ,

где п=2,3, ., а трехчлен х2+рх+q не имеет действительных корней, то есть D=р2-4 q<0.

Рассмотрим, как интегрируются эти дроби.

І.

ІІ.

ІІІ. Пример.

---= -.

2. Как известно из алгебры, многочлен Qn(x) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители

Qn(x) = (х-х)k…(х-хr)k(x2+px+q)l…( x2+px+q)l,

где , х, p, q- действительные числа; k, I- натуральные числа; k+…+ k+2(I+…+ I)=n, р2- 4 q<0.

 Скачать реферат