Функция многих переменных

Рефераты / Математика / Функция многих переменных

,,,.

Аналогично

= 47 src="images/referats/7449/image035.png">.

Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.

Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.

Частные производные от частных производных , функции z=f(x;у) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:

, ,

, .

Производные и называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.

Лекция 11. Тема – Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы.

План.

1. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков.

2. Производная в направлении. Градиент и его свойства.

3. Локальные экстремумы функции высших порядков.

1. Пусть функция z=f(x;у) непрерывна в некоторой окрестности точки М (x;у) вместе со своими частными производными (х;у),(х;у). Выберем приращение и так, чтобы точка (х+;у+) принадлежала рассматриваемой окрестности.

Если полное приращение функции z=f(x;у) в точке М (x;у)

= f(x+;у+)- f(x;у)

можно записать в виде

=(х;у)+ (х;у)+,

где - бесконечно малые функции при , , то функция z=f(x;у) называется дифференцированной в точке М (x;у), а линейная относительно и часть её полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

dz=+.

Дифференциалами независимых переменных называют приращения этих переменных dх=, dу=. Поэтому

dz=dх +dу,

или в других обозначениях

dz=dх +dу.

Для функции трёх переменных и= f(x;у; z)

dи=dх +dу+dz.

Полный дифференциал функции z=f(x;у)

dz=dх +dу,

который ещё называют дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х, у и от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят от х, у.

Дифференциалы второго порядка определяют по формуле

d2 z= d(dz).

Тогда

d2 z= d(dх+dу)= (dх+dу) dх+(dх+dу) dу=dх2+dу dх+