Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток

Пример 3. Конгруэнции на решетках.

1) Конгруэнция Ламбека ().

Для некоторого простого идеала решетки и отношение

h=243 height=25 src="images/referats/7450/image038.png">

называется конгруэнцией Ламбека по простому идеалу решетки .

Теорема Отношение конгруэнция на решетке

Доказательство. Рефлексивность и симметричность отношения очевидны. Пусть и , т.е. и для некоторых . В силу простоты идеала найдется такой элемент , что элемент не лежит в . Из равенства в силу определения решетки следует и учитывая, что , получаем, что , что доказывает транзитивность отношения .

Докажем сохранение операций. Пусть , , что означает для подходящих , а для некоторого . Из первого равенства получаем , а из второго . Почленно сложив равенства, получим , т.е. . Умножим на , а на и получим , откуда или .

2) Конгруэнция Корниша ().

Для некоторого простого идеала решетки и отношение

называется конгруэнцией Корниша по простому идеалу решетки .

Теорема Отношение конгруэнция на решетке

Доказательство. Рефлексивность и симметричность очевидны. Покажем транзитивность. Пусть и . Это значит, по определению конгруэнции Корниша, что и для некоторых . Прибавив к первому равенству получим

.

Осталось показать, что и . Это следует из определения : , для некоторых . Рассмотрим выражение .

Для рассуждения аналогичны.

Докажем сохранение операций.

Сложение: Пусть для некоторых . Требуется доказать, что . По определению конгруэнции: .

Складывая эти равенства, получаем:

,

Где . Тем самым, сохранение операции сложения доказано.

Умножение: Умножая равенства , получаем:

,

откуда очевидно, что операция умножения также сохраняется при этой конгруэнции.

Для некоторого простого идеала решетки и отношение

также определяет конгруэнцию Корниша.

Доказательство

· - очевидно.

: Пусть для некоторого простого идеала решетки и выполняется отношение , где для некоторых . Тогда , где по определению простого идеала. Или, .

 Скачать реферат