Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток

Оглавление

Вступление. 3

1. Основные определения. 4

1.1 Решетка. 4

1.2 Топологическое пространство. 10

1.3 Функциональный пучок. 13

2. Функциональные представления дистрибутивных решеток. 25

2.1 Теоремы об изоморфизме. 25

2.2 Свойства пучковых представлений. 30

Литература. 33

Вступление

Все алгебраические объекты имеют абстрактну

ю природу, их невозможно ни изобразить, ни визуализировать каким либо другим образом. Поэтому одной из важнейших задач алгебры является задача представления, заключающаяся в построении объектов иной природы, изоморфных данным алгебраическим структурам.

Примерами могут служить:

· Теорема Кэли о вложимости произвольной группы в некоторую симметрическую группу, результат об изоморфизме алгебры линейных операторов n-мерного векторного пространства и алгебры матриц nn над тем же полем;

· Теорема Стоуна об изоморфизме конечной булевой алгебры и решетки всех подмножеств некоторого конечного множества;

Одной из рассматриваемых идей о представлениях является представление алгебраических систем сечениями пучков: А. Гротендик(1960г), Р. Пирс(1967г), Дж. Ламбек(1971г), К. Хофман(1972г), К. Малви(1979г) и другие занимались представлениями колец. Первые работы по представлению дистрибутивных решеток появились в конце 60х годов. Различным типам пучковых представлений посвящены работы Корниша, Войкулеску, Георгеску и других.

Данная работа посвящена построению функциональных пучков Ламбека и Корниша для ограниченных дистрибутивных решеток. В работе вводятся основные определения, необходимые для реализации этих представлений и доказаны теоремы об изоморфизме данных функциональных представлений ограниченным дистрибутивным решеткам.

1. Основные определения

1.1 Решетка

Def1. Алгебраическая система называется решеткой, если выполняются:

аксиомы идемпотентности

; ;

аксиомы коммутативности

аксиомы ассоциативности

законы поглощения

;

Решетка называется дистрибутивной, если

Решетка называется ограниченной, если в существуют 0 и 1, нейтральные элементы по сложению (+) и умножению () соответственно.

В дальнейшем будут рассматриваться только ограниченные дистрибутивные решетки.

Пример 1. Легко проверить, что следующие объекты являются ограниченными дистрибутивными решетками:

Def2. Непустое подмножество дистрибутивной решетки называется идеалом решетки , если

Идеал дистрибутивной решетки называется собственным, если .

Собственный идеал дистрибутивной решетки называется простым, если .

Для любого идеала множество называется 0-компонентой идеала .

Пример 2. Простым идеалом решетки (пример 1, рисунок 2) является решетка (рис. 3):

0-компонентой идеала в решетке является множество

Def3. Бинарное отношение ~ в решетке называется конгруэнцией, если выполняются свойства:

1) ~ является отношением рефлексивности, симметричности и транзитивности;

2) ~ сохраняет операции:

Множество всех классов конгруэнтности с операциями образует решетку, называемую фактор-решеткой решетки по конгруэнции ~.

Доказательство. Операции и определяются через представителей классов, и необходимо показать их корректность, т.е. независимость результатов от выбора представителей. Это вытекает в силу гомоморфности

операции и ассоциативны, т.к. ассоциативны операции в , также сохраняются идемпотентность, коммутативность, законы поглощения и дистрибутивности. Классы [0] и [1] будут нейтральными элементами относительно и соответственно. Предложение доказано.

 Скачать реферат