Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток

Теорема1. Ограниченная дистрибутивная решетка L изоморфна полукольцу глобальных сечений пучка на SpecL.

Доказательство. Рассмотрим отображение f, которое элементу ставит в соответствие глобальное сечение width=6 height=27 src="images/referats/7450/image177.png">, такое, что , где класс элемента l в фактор-полукольце .

Пусть для произвольных . Это означает, что для каждого выполняется для подходящего .

Из покрытия в силу компактности спектра выберем конечное подпокрытие. Тогда , откуда получаем, что сумма идеалов совпадает с . Для некоторых получаем .

Из следует для каждого Просуммировав эти равенства, получим , или , что доказывает точность представления f.

Покажем его полноту. Пусть произвольное глобальное сечение пучка . В силу факторности пучка сечение в каждой точке совпадает с некоторым сечением вида . По свойствам пучка эти сечения совпадают на некоторой базисной окрестности точки , а компактность простого спектра позволяет выбрать элементы так, что на и . Для любых на множестве .

Тот факт, что можно показать так:

· ) ,

откуда .

)

Покажем, что справедливо равенство .

Рассмотрим множество и идеал уравнитель элементов . Если пересекается с , то равенство верно. Предположим, что . Максимальный идеал , содержащий и не пересекающийся с прост.

Доказательство: Возьмем P – максимальный идеал, содержащий и не пересекающийся с и . Тогда

,

откуда .

Таким образом, , что означает несравнимость и по конгруэнции , поэтому . Но тогда , и получено противоречие после предположения, что . Значит, равенство справедливо.

Поскольку , то для некоторых имеем . Пусть . Покажем, что . Равенство влечет за собой , и, просуммировав обе части по i, получаем

.

Таким образом, на для любого , и следовательно, во всех точках . Теорема доказана.

Теорема2. Ограниченная дистрибутивная решетка L изоморфна полукольцу глобальных сечений пучка на SpecL.

Доказательство. Рассмотрим отображение f, которое элементу ставит в соответствие глобальное сечение , такое, что , где класс элемента l в фактор-решетке .

 Скачать реферат