Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток

· Для решетки (Рис.2):

Рис.12: Решетки конгруэнций Ламбека по простым идеалам ()

Рис.13: Решетки конгруэнций Корниша по простым идеалам ().

2. Функциональные представления дистрибутивных решеток

Рассматривая пример 5, можно заметить, что построенные пучки не только гомоморфны, а изоморфны исходным решеткам. Следующие теоремы покажут, что для представленных конгруэнций этот факт верен для любой ограниченной дистрибутивной решетки.

2.1 Теоремы об изоморфизме

Лемма1. Конгруэнции образуют открытое семейство.

Доказательство. Необходимо показать, что для любых элементов множество открыто в .

Пусть , тогда и для некоторого . Если – произвольный простой идеал из , то , и поэтому . Поскольку вместе с произвольной своей точкой содержит некоторую ее окрестность, то открыто.

Лемма2. Конгруэнции образуют открытое семейство.

Доказательство. Необходимо показать, что для любых элементов множество открыто в .

Пусть , тогда и для некоторых . Если – произвольный простой идеал из , то , и поэтому . Поскольку вместе с произвольной своей точкой содержит некоторую ее окрестность, то открыто.

 Скачать реферат