Формирование понятия функции в курсе математики средней школы

С другой стороны, они определяют функцию как соответствие между множествами: если Х и Y – два произвольных множества, то говорят, что на Х определена функция f, принимающая значения из Y, если каждому элементу х Х поставлен в соответствие единственный элемент y Y “ /ст

р. 5/.

Это уже второе современное (теоретико – множественное) направление.

§2. Функция и задание её аналитическим выражением

Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению аргумента находятся соответствующие ему значения функции.

Из всех основных способов задания функции, таких, как аналитический, табличный, графический, алгоритмический или программный, особый интерес и значимость имеет задание функции при помощи некоторой формулы, некоторого аналитического выражения, позволяющего для любого значения аргумента из области определения Х, находить соответствующее значение функции путем вычислений.

Представление о формуле как о некоторой формуле, связывающей y и х, к сожалению, довольно часто встречается у школьников. Функция и формула - это разные «вещи» Одно дело-функция как отображение одного множества (в данном случае числового множества) на другое, другое дело – формула, представляющая собой лишь один из способов задания функции.

Чем же опасно отождествление функции с формулой, которая описывает функцию?

Во-первых, не всякая формула задает функцию.

Приведем несколько примеров:

у = +; y = +:

y = +; и т.д.

Что можно сказать об области определения, например, функции

y = +?

Функция у = имеет область определения [2; +), а функция у = - область определения ]-; 1]. Указанные промежутки не пересекаются, значит, формула у = +не определяет никакой функции.

Во всех указанных примерах за формулой не стоит никакой функции, так как область определения выражений f(x) есть пустое множество.

Во-вторых, не всякую функцию можно задать с помощью формулы.

Примером такой функции является функция Дирихле, определенная на числовой прямой:

D(y) =

Эта функция есть отображение множества рациональных чисел в единицу и множества иррациональных чисел в нуль.

В-третьих, несколько формул могут задавать одну-единственную функцию.

Пример:

у =

Эта функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(y) = (-;+) и задана с помощью трех аналитических выражений, а именно на промежутке (-;0) используется закон числового соответствия, описываемый формулой у = 2, на отрезке [0;2] – формулой 1+x, а на промежутке (2;+) – формулой у = х-1.

Таким образом, формула – это не сама функция, а всего лишь один из способов ее задания.

§3. Область определения функции и область значений функции как принципиально важные понятия в определении функции

Принципиально важным вопросом при формировании понятия функции является вопрос об области определения функции и области значений функции. Из определения функции вытекает, что функция у = f(x) должна задаваться вместе с ее областью определения Х. При этом подчеркнем, что область определения функции может задаваться либо условиями решаемой задачи, либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математическими соглашениями.

Напоминаем, что областью определения функции (обозначается D(f) или D(y)) называется множество Х, на котором определяется функция f.

Например, функция, выражающая зависимость между пройденным путем и временем движения при свободном падении тела, брошенного без начальной скорости, определяется как

f (x) =, D(f) = [0;]

Для х>0 данная функция не определена, так как время движения не может быть отрицательным. В то же время формула f (x) = имеет смысл при всех хR.

Заметим, что если функция задана формулой у = f(x) и область определения не указана, то считают, что область определения функции совпадает с областью определения выражения f(x), т.е. множеством тех значений х, при которых выражение имеет смысл.

Важным в формировании понятия функции является понимание следующего принципиального момента. За счет за счет варьирования области определения функции можно при желании задать сколь угодно много разных функций, используя одну и ту же формулу.

Пример:

у = ,

определенная на отрезке [-6;-1], у = , определенная на промежутке (0;+), это разные функции.

Косинус, определенный, например, на отрезке [0;], косинус, определенный на отрезке [, и косинус, определенный на всей числовой прямой, - это три различные функции. Областью значений функции, или областью изменения функции (обозначается Е(f) или Е(у)) называется множество всех у изY, для каждого из которых существует хотя бы одно значение аргумента х, такое, что f(x) = y.

Область изменения функции у = f(x) вычисляется по уже заданной области определения.

Рассмотрим примеры:

 Скачать реферат