Формирование понятия функции в курсе математики средней школы

1. Пусть дана функция

y = .

Найдем область определения этой функции: D(y) состоит из всех тех действительных чисел, для которых logsin x 0 и sin x>0. Так как , то для 0 < sin x < 1 logsin x < 0, поэтому чтобы найти область определения данной функции достаточно решить уравнение

logsin x = 0

logsin x = log1

sin x = 1, откуда

x = + 2n, nZ.

Таким образом, D(y) = {+2n , nZ}.

Легко видеть, что область изменения функции E(y) = {0}, поскольку

logsin (+ 2n) = log1 = 0.

2. Найти область изменения функции

у = .

Решение:

Составим уравнение = а, и исследуем множество его решений.

При а 0 возведём обе части данного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение 1- х= аили х= 1 - а. Это уравнение имеет решение лишь при 1 - а0, откуда а[-1;1], но с учетом, а 0 исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда а[0;1], поэтому E(y) = [0;1].

3. Найти область определения функции

y = + .

Решение:

Функция y= определена для значений x0;

Функция y= определена для значений 4+x0;

Т.е. x>-4. Следовательно, общей частью двух областей является промежуток x(-4;0]. Он и есть область определения данной функции.

Заметим, что если данная функция есть сумма (разность, произведение) других функций, то её область определения есть пересечение множеств, являющихся областями определения и исходных функций.

§4. Важнейшие классы функций: четные, нечетные, периодические

Говорят, что множество Х симметрично относительно нуля (симметрично относительно начала координат), если множество Х таково, что (-х)Х для любого хХ, т.е. вместе с каждым своим элементом х, оно содержит и ему противоположный элемент (-х).

Примеры симметричных относительно нуля множеств:

отрезок [-5;5];

интервал [-3;3];

числовая прямая (-);

Примеры несимметричных множеств:

отрезок [-5;4];

интервал (-2;3);

луч [-10;+);

Несимметричным относительно нуля множеством является и промежуток [-2;2), так как –2 принадлежит этому множеству, а противоположное число 2 ему не принадлежит.

Определение:

Функция у = f(x) называется четной, если:

1) область определения D(f) есть множество, симметричное относительно нуля;

2) для любого хD(f) выполняется равенство

f(-x) = f(x)

Таким образом, вопрос о четности или нечетности той или иной функции надо рассматривать, учитывая всякий раз не только вид аналитического выражения, но и тот промежуток, на котором определена данная функция. Ответ на вопрос: “Является ли, например, функция у = 1-хчетной функцией?” зависит от выбора области определения. Если указанная функция определена на промежутке, симметричном относительно нуля.

Например, на всей числовой прямой, или на отрезке [-1;1], то в этих случаях функция у = 1-хявляется четной функцией. Если же предположим, что область определения есть отрезок [-1;2], то функция у = 1-хне является нечетной.

Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции

у=1+sin x; у = 2; у = .

Итак, при исследовании функции у = f(x) на четность или нечетность, необходимо поступать следующим образом:

а) выяснить симметричность области определения функции у = f(x) относительно нуля;

б) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной;

в) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то необходимо проверить истинность равенств:

f(-x) = f(x) (1)

или f(-x) = f(x) (2) для всех хD(f)

 Скачать реферат