Статистическое исследование свойств псевдослучайных чисел получаемых методом Джона фон Неймана

Закон распределения случайной величины Х определяет вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, не меньшее α. Пусть эта вероятность Р(Х≥α)=β. Согласно принципу практической уверенности при однократном наблюдении происходит немаловероятное событие. Поэтому если величина α была получена как результат наблюдения именно случайной величины Х, т.е. при распределе

нии рассматриваемого признака по предполагаемому теоретическому закону, то вероятность β не должна быть малой. Если же вероятность β оказалась весьма малой, то это означает, что наступило маловероятное событие, которое в соответствии с тем же принципом практической уверенности при распределении признака в генеральной совокупности по предложенному закону не должно было наступить. Наступление события с такой вероятностью объясняется, по-видимому, тем, что наблюдалась случайная величина, распределенная не по предположенному закону, а по какому-то другому. Таким образом, в случае, когда вероятность β не мала, расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями следует признать несущественными, случайными, а опытное и теоретическое распределения – не противоречащими, согласующимися друг с другом. Если же вероятность β мала, то расхождения между опытным и теоретическим распределениями существенны, объяснить их случайностью нельзя, а гипотезу о распределении признака по предложенному теоретическому закону следует считать не подтвердившейся, она не согласуется с опытными данными. По-видимому, при выборе предполагаемого теоретического закона не были в достаточной степени учтены особенности имеющихся опытных данных или при этом сказались субъективные качества исследователя. Следует внимательнее изучить опытные данные и попытаться найти новый теоретический закон в качестве предполагаемого для рассматриваемого признака, который лучше, полнее учитывал бы особенности опытного распределения.

Необходимо только установить, какие вероятности считаются «малыми». Обычно это вероятности, не превосходящие 0,01. В других случаях считают малыми вероятности, не превосходящие 0,05.

Существует много критериев согласия. Рассмотрим критерий χ-квадрат (Пирсона) и критерий Колмогорова.

Критерий согласия (Пирсона)

Пусть в результате n наблюдений получен вариационный ряд с опытными частотами n1, n2, …, nm. Тогда сумма их n1+n2+ +nm=n. Анализ опытных данных привел, допустим, к выбору некоторого теоретического закона распределения в качестве предполагаемого для рассматриваемого признака, а по опытным данным найдены его параметры (если они не были известны заранее). С помощью самого закона вычислены теоретические частоты n01, n02, …,n0m, соответствующие эмпирическим частотам. Сумма теоретических частот также равна объему совокупности n:

n01+ n02+…+n0m=n.

В качестве меры расхождения теоретического и эмпирического рядов частот можно взять величину

Из этого выражения видно, что χ2 равно нулю лишь при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот: ni =n0i (i = 1, 2, …, m). В противном случае χ2 отлично от нуля и тем больше, чем больше расхождения между указанными частотами.

Величина χ2 , определяемая равенством, является случайной, которая как можно показать, имеет χ2-распределение, где k – число степеней свободы. Число k = m – s, где m – число групп эмпирического распределения, а s – число параметров теоретического закона, найденных с помощью этого распределения, вместе с числом дополнительных соотношений, которым подчинены эмпирические частоты. Если же эмпирическое распределение не использовалось для нахождения параметров теоретического закона и теоретических частот, а эмпирические частоты не связаны никакими дополнительными соотношениями, то k равно числу групп эмпирического распределения, причем в обоих случаях наблюденные частоты должны быть не малы. Малые частоты следует объединить с соседними с тем, чтобы укрупнить группы. Это будет показано на приводимом ниже примере.

Таким образом, схема расчета критерия согласия χ2 следующая:

По опытным данным выбрать в качестве предполагаемого закон распределения изучаемого признака и найти его параметры.

Определить теоретические частоты с помощью полученного закона распределения. Если среди опытных частот имеются малочисленные, объединить их с соседними.

По формуле (1) вычислить величину χ2. Пусть она оказалась равной χ20.

Определить число степеней свободы k.

В приложении 4 по полученным значениям χ2 и k найти вероятность β того, что случайная величина, имеющая χ2-распределение, примет какое-нибудь значение, не меньшее χ20 : P(χ2 χ20) = .

Сформулировать вывод, руководствуясь общим принципом применения критериев согласия, а именно: если вероятность β больше 0.01, то имеющиеся расхождения между теоретическими и опытными частотами следует считать несущественными, а опытное распределение – согласующимся с теоретическим. В противном случае (β<0.01) указанные расхождения признаются неслучайными, а закон распределения, избранный в качестве предполагаемого теоретического, отвергается.

Критерий Колмогорова

На практике кроме критерия χ2 часто используется критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическими и эмпирическими распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей теоретической функцией распределения

называемое статистикой критерия Колмогорова.

Доказано, что какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X, при неограниченном увеличении числа наблюдений (n) вероятность неравенства P(D) стремится к пределу

задавая уровень значимости α, из соотношения

можно найти соответствующее критическое значение .

Проверка гипотезы о равномерном распределении

При использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности с предполагаемой плотностью вероятности f(x) необходимо вычислив по имеющейся выборке значение, оценить параметры a и b по формулам

,

 Скачать реферат