Старший и верхний центральный показатели линейной системы

Следствие 1.1 [1,с.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.

Определение1.5 [2,с.71]. Наибольший верхний показатель

системы

<

p>будем называть старшим показателем.

Определение 1.6 [2,с.7]. Пусть ─ функция. Тогда верхнее среднее значение функции есть:

= .

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

P = , ,

зависящие от параметра непрерывна в том смысле, что из следует равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Определение 1.7 [ 2,с.103]. Ограниченная измеримая функция называется верхней или C-функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функции :

,

то есть, если

,

где ─ константа, общая для всех и , но, вообще говоря, зависящая от выбора и .

Определение 1.8 [2, с.103]. Совокупность всех верхних функций назовем верхним классом или C-классом семейства P, и обозначим через

(P).

Определение 1.9 [2,с.103]. Число

назовем верхним центральным или C-числом семейства P. Оно обозначается также через или .

Утверждение 1.1 [2, с. 104]. Если существует такая C-функция , что

для всех , то эта функция одна образует верхний класс и C-число совпадает с :

.

Замечание 1.3 [2,с.102]. Для упрощения записи введем обозначение

Определение 1.10 [2,с.115]. Центральное число семейства P будем называть центральным показателем системы

.

Определение 1.11 [2,с.106]. Разобьем полуось точками 0,T,2T,… на промежутки

.

Пусть

.

Найдем

.

Замечание 1.4 [2,с.106]. Число

совпадает с и знак можно заменить на , то есть

.

Определение 1.12 [2,с.107]. Пусть ─ любая ограниченная кусочно непрерывная функция, для которой

.

Замечание 1.5 [2,с.107]. Такие функции существуют: достаточно положить на равной одной из тех функций, для которых достигается максимальное значение

.

Утверждение 1.2 [2,с.537]. Верхнее среднее значение любой ограниченной кусочно непрерывной функции, а в частности функции , где произвольное, равно

.

Утверждение 1.3 [2,с.114]. Пусть

,

─ ее решение и

P = ─

семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где

.

Тогда старший показатель этой системы равен наибольшему из верхних средних значений функций семейства P, то есть

.

2. СООТНОШЕНИЕ .

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

P = , ,

зависящее от параметра непрерывно в том смысле, что из следует равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

 Скачать реферат