Производная и ее применение для решения прикладных задач

положением секущей, когда точки пересечения сливаются.

Таким образом,.

Уравнение касательной

, где - координаты точки касания,

а - текущие координаты точки касательной прямой.

Физический смысл производной заключается в скорости изменения функции.

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

13 Дифференциал

Пусть дана функция и - внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение и рассмотрим приращение функции

Если это приращение можно представить в виде где величина не зависит от приращения, а - бесконечно малая при величина, имеющая больший порядок малости, чем , то произведение называется дифференциалом функции в точке и обозначается .

Перечень прикладных задач:

-составление уравнения касательной к графику функции;

-нахождение угла между пересекающимися прямыми, между графиками функций;

-исследование и построение графиков функций;

-решение задач на оптимум;

-преобразование алгебраических выражений;

-разложение многочлена на множители;

-доказательство тождеств;

-вычисление сумм;

-решение уравнений;

-приближенные вычисления и оценка погрешностей;

-доказательство неравенств и тождеств;

-решение систем уравнений;

-решение задач с параметрами;

-отбор кратных корней уравнения;

-сравнение величин;

-определение периода функции;

-нахождение пределов функции с помощью правила Лопиталя;

-разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора;

-приближенное решение уравнений методом проб, хорд и касательных;

-линеаризация алгебраических функций и многое другое.

3. Примеры решения прикладных задач

3.1 Исследование функций и построение их графиков

Пример 1

Исследовать и построить график функции

Решение.

1. Функция существует для всех .

2. Функция не является ни четной, ни нечетной,

так как

,

то есть и .

3. В точке х=0 функция имеет разрыв в точке х=0.

При этом

4. Находим производную: и приравниваем ее к нулю:

. Точка будет критической.

Проверим достаточные условия экстремума в точке . Так как знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя. Получаем: при и при . Следовательно, в точке функция имеет минимум, ее значение в точке .

5. Точек пересечения с осью ОY нет, так как данная функция не определена при х=0. Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно решить уравнение .

Тогда или .

Получим, что при функция убывает; х=y=0; функция убывает; при функция убывает; при х=функция имеет минимум y=3; при функция возрастает.

График данной функции представлен на рисунке.

Кривая, рассмотренная в этой задаче называется «Трезубец Ньютона».

3.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач на оптимум)

Пример 1

Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.

Решение:

Составляем функцию, выражающую необходимое условие.

В данной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R и ширины х), равна . Поэтому прочность такой балки равна . При этом х изменяется от 0 до 2R.

Функция обращается в нуль при х=0 и х=2R и положительна между этими значениями. Значит она имеет максимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции обращается в нуль на отрезке лишь при . Это и есть оптимальное значение ширины b балки. Высота h балки такой ширины равна и отношение равно . Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.

 Скачать реферат