Производная и ее применение для решения прикладных задач

Таким образом, функция является непрерывной и возрастающей на всей числовой прямой; поэтому ее график может пересекать ось ОХ только в одной точке. Учитывая, что , заключаем, что решениями данного неравенства являются все числа х из промежутка rc="images/referats/7475/image181.png">.

Пример 2.

Докажите неравенство (при ).

Доказательство.

При х=0 неравенство справедливо.

Рассмотрим функцию и найдем ее производную:

Производная обращается в нуль при

При то есть функция монотонно убывает. При то есть функция монотонно возрастает. При функция имеет минимум, равный нулю.

Таким образом, при значит .

Пример 3.

Доказать, что при имеет место неравенство

Решение.

Найдем участки возрастания и убывания функции

Так как то

при

при

при

Функция непрерывна на поэтому она возрастает на отрезке и убывает на промежутке Отсюда заключаем, что точка является точкой локального максимума функции (рис.).

Так как и то неравенство доказано.

3.10 Доказательство тождеств

Пример 1.

Решение

Рассмотрим функцию

.

При х=1 имеем . Пусть ; тогда

и

Поэтому следовательно, функция при является тождественно равной постоянной. Чтобы найти эту постоянную, вычислим, например, ; имеем:

.

Таким образом, данное тождество доказано для всех .

3.11. Решение уравнений

Пример 1.

Решение

Переписав данное уравнение в виде

, заметим, что его корнями являются абсциссы точек пересечения или касания графиков функций и .

Для выяснения взаимного расположения графиков этих функций найдем их точки экстремумов.

Так как , то эта функция достигает своего наименьшего значения, ровно 1, в точке х=1. Область существования функции состоит из всех х таких, что . Так как

то при ,

при ,

при .

Так как функция непрерывна на , то отсюда заключаем, что функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке . Следовательно, точка х=1 является наибольшим значением функции на ее области существования.

Таким образом, при любом

,

.

Следовательно уравнение имеет один единственный корень х=1.

Взаимное расположение графиков показано на рисунке.

3.12 Решение систем уравнений

Пример 1.

Решить систему уравнений

Решение.

Перепишем данную систему в виде

Из первого уравнения этой системы следует, что ее решениями могут быть такие пары чисел (х,y), для каждого из которых y>0. Тогда эти пары чисел должны удовлетворять неравенству х>y>0, что следует из второго уравнения системы. Пусть тогда из первого уравнения системы находим, что Подставляя во втором уравнении системы вместо х и вместо y, получаем

 Скачать реферат