Основные понятия математического анализа

Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).

Числовой ряд имеет бесконечное число членов.

Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).

n-ый член находится по формуле

аn=а1+d(n-1); d=аn-аn-1.

Знаменатель – геометриче

ская прогрессия.

bn=b1qn-1; .

Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.

Sn=а1+а2+…+аn.

Sn – n-ая частичная сумма ряда.

Рассмотрим предел:

S - сумма ряда.

Ряда сходящийся, если этот предел конечен (конечный предел S существует).

Ряд расходящийся, если этот предел бесконечен.

В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.

Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.

, C=const.

Геометрическая прогрессия является сходящимся рядом, если , и расходящимся, если .

Также встречается гармонический ряд (ряд ). Этот ряд расходящийся.

Свойства числовых рядов

1. Если сходится а1+а2+а3+…+аn+…=, то сходится и ряд аm+1+аm+2+аm+3+…, полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимость и расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

2. Если ряд а1+а2+а3+… сходится и его сумма равна S, то ряд Са1+Са2+…, где С= так же сходится и его сумма равна СS.

3. Если ряды а1+а2+… и b1+b2+… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а1+b1)+(а2+b2)+(а3+b3)+… и (а1-b1)+(а2-b2)+(а3-b3)+… также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2.

4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно).

- необходимый признак (условие) сходимости ряда.

б). Если то ряд расходящийся – достаточное условие расходимости ряда.

-ряды такого вида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды.

Знакоположительные ряды

Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

Знакоположительные ряды это ряды, все члены которых положительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматривать для знакоположительных рядов.

1. Первый признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда а1+а2+а3+…+аn+…=(1) и b1+b2+b3+…+bn+…=(2).

Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. аnbn и ряд (2) сходится, то и ряд (1) также сходится.

Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. аnbn и ряд (2) расходится, то и ряд (1) также расходится.

Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.

2. Второй признак сравнения

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.

3. Признак Даламбера

Если для знакоположительного ряда (а1+а2+а3+…+аn+…=) существует (1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

4. Признак Коши радикальный

Если для знакоположительного ряда существует предел (2), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

5. Признак Коши интегральный

Вспомним несобственные интегралы.

Если существует предел . Это есть несобственный интеграл и обозначается .

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.

Пусть ряд а1+а2+а3+…+аn+…=- знакоположительный ряд.

Обозначим an=f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Если ряд конечен, то он сходится.

Очень часто встречаются ряды - ряд Дерихле. Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Знакопеременный ряд – это ряд, среди членов которого имеются как + так и – члены.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд. Это ряд, у которого за каждым + членом следует -, и наоборот, т.е. знаки чередуются.

Пусть задан знакопеременный ряд а1+а2+а3+…+аn+…=(1) (члены как + так и -).

Возьмем ряд (3), составленный из абсолютных величин членов ряда (1). Ряд (3) является знакоположительным рядом.

Если ряд (3) сходится, то ряд (1) также сходится и называется абсолютно сходящимся (ответ получен сразу).

Если ряд (3) расходится, а:

- ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся;

- ряд (1) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

При исследовании знакоположительных рядов можем получить 2 ответа: ряд сходится или ряд расходится.

 Скачать реферат