Математическая модель процесса вытяжки трубчатой заготовки

(10)

Здесь ai - произвольные постоянные. При линейной аппроксимации стороны треугольника после деформирования элемента остаются прямыми.

Выразим ai через перемещения узлов элемента. В результате матрица N примет вид:

(11)

S - площадь сечения элемента:

,(12)

где ri, zi - координаты i-го узла в соответствующих осях.

Деформированное состояние в любой точке тела описывается тензором малых деформации Коши:

(13)

В условиях осесимметричной задачи тензор деформации второго ранга сводится к вектору:

(14)

компоненты которого выражаются через производные перемещений по соответствующим координатам:

.(15)

Связь между составляющими векторов деформации и перемещений можно представить одним матричным равенством:

(16)

где B – матричный дифференциальный оператор:

.(17)

Используя (16) и (17), можно выразить деформации через узловые перемещения

.(18)

Матрица функций формы C для осесимметричной деформации:

.(19)

Коэффициенты матрицы C зависят от координат r и z точки внутри элемента. Для треугольника с узлами в вершинах координаты r и z можно заменить средними по элементу значениями:

(20)

Вектор напряжений s имеет вид:

(21)

Выразим с помощью линейного закона, выражаемого матрицей жёсткости, напряжения через узловые перемещения

,(21’)

где D – матрица материальных констант.

Потенциальная энергия деформации элемента с учётом (20) и (19)

.(22)

Интеграл в выражении (2.22) есть матрица жёсткости выбранного элемента

,(23)

Элементарный объём . Поэтому матрица жёсткости элемента записывается следующим образом:

,(24)

где S – площадь элемента.

С учётом проделанных преобразований уравнение равновесия элемента через узловые перемещения выражается в форме:

(25)

где K - матрица жёсткости; P, - векторы внешних сил и узловых перемещений, соответственно.

При наличии упругих и пластических деформации связь между напряжениями и деформациями нелинейна. Решение нелинейной системы уравнений весьма трудоемко. Поэтому при использовании деформационной теории часто используют кусочно-линейный закон связи напряжений и деформации. Тогда при решении задачи в приращениях напряжений Ds и деформации De, связь между которыми можно считать линейной, получаем систему линейных уравнений:

(26)

Одним из способов решения задачи в приращениях является метод последовательных нагружений. Для квазистатической задачи приращения внешних сил DP вычисляются на шаге по времени Dt. При этом вектор внешних сил P в момент времени t равен:

(27)

где n – шаг нагружения.

Таким образом, с учётом вышеизложённого, вариационное уравнение равновесия в матричной записи принимает вид:

(28)

где - вектор приращений перемещений.

3. Представление матрицы жёсткости

В пределах упругости связь между приращениями напряжений и деформации выражается законом Гука. Согласно ему компоненты приращений деформации являются линейными функциями приращений напряжений. Пластическое состояние материала описывается теорией малых упругопластических деформации Ильюшина. Принимается теория изотропного упрочнения. Объёмная деформация в пластической зоне остается упругой и для нее выполняется объёмный закон Гука:

,(29)

где q - относительное изменение объёма.

Модуль объёмного сжатия k для изотропного тела в случае осесимметричной деформации имеет вид:

.(30)

Модуль сдвига G связан с модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона n формулой:

в упругой области:

(31)

в пластической:

(32)

Здесь H – касательный модуль упрочнения. Коэффициент Ляме - l определяется формулой:

(33)

Таким образом, матрица материальных констант D имеет вид:

.(34)

Следует особо отметить, что использовать матрицу жёсткости в таком виде для пластического состояния можно, только связывая приращения деформации и напряжений, о чем было сказано ранее при выводе уравнения равновесия.

Зная текущее состояние элемента, предел текучести, накопленную деформацию и приращения внешних сил, можно определить изменение напряжённо-деформированного состояния на шаге приращения перемещений Du и сил DР, используя для вычисления K по формуле ( упругое или пластическое представление матрицы жёсткости.

4. Пластическая деформация

Пластическая деформация твердого тела рассматривается в рамках деформационной теории пластичности. Приняты следующие исходные положения:

¾ тело изотропно;

¾ относительное изменение объёма мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению: или ;

¾ полные приращения составляющих деформации Deij складываются из приращений составляющих упругой деформации Deeij и пластической деформации Depij:

;

¾ девиаторы приращений напряжения и деформации пропорциональны: .

Напряжённо-деформированное состояние элемента на i+1 шаге характеризуется интенсивностью деформации ei:

 Скачать реферат