Производная и ее применение в экономической теории

Если 0, то спрос на данный товар называется неэластичным или относительно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается – темп роста спроса ниже темпа снижения цены; цена растёт – темп снижения спроса

ниже темпа роста цены.

Если =1, то говорят, что товар имеет единичную эластичность. Поведение покупателя: цена снижается – темп роста спроса равен темпу снижения цены; цена растёт – темп снижения спроса равен темпу роста цены.

Если >1, то спрос на данный товар называется эластичным или относительно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается – темп роста спроса выше темпа снижения цены; цена растёт – темп снижения спроса выше темпа роста цены.

Если , то спрос на данный товар называется абсолютно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается – объём покупок неограниченно возрастает; цена растёт – объём покупок падает почти до нуля.

- Эластичность спроса по доходу

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителя этого блага на один процент. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует качественные (супериорные) товары, отрицательная – некачественные (инфериорные) товары.

Так, высокий положительный коэффициент эластичности спроса по доходу в отрасли указывает, что её вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то её может ожидать застой и перспектива сокращения производства.

- Ценовая эластичность ресурсов

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработной платы) на один процент.

3. Приложение производной в экономической теории

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем. Для примера рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма.

Пусть q – выпуск продукции (в натуральных единицах); TR(q) – выручка от продаж; TC(q) – издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Тогда прибыль

Предположим, что выполняются следующие условия:

1) Функции TR(q), TC(q) определены на полуинтервале и дифференцируемы при q>0.

2) Максимум прибыли достигается в некоторой точке q*0.

В случае, когда максимум прибыли положителен , условие q*0 естественным образом выполняется, поскольку (нет выпуска – нет выручки, нет выручки – нет прибыли).

Итак, условия 1), 2) выполнены. Тогда функция дифференцируема и имеет на интервале максимум в точке q*0. По теореме Ферма, . Так как , то в точке q=q* получаем равенство

TR'(q*)=TC'(q*) или MR=MC.

В экономической теории данное равенство иллюстрирует один из базовых законов теории производства, согласно которому фирма, максимизирующая свою прибыль, устанавливает объём производства таким образом, чтобы предельная выручка была равна предельным издержкам.

В случае, когда объём производства q не влияет на цену продукции p, имеем TR(q)=p*q, TR'(q)=p. Равенство TR'(q*)=C'(q*) принимает вид p=TC'(q*).

4. Использование производной при решении задач по экономической теории

Задача №1: Функция спроса имеет вид QD=100 – 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции – 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Решение: Прибыль есть выручка минус издержки:

П=TR – TC,

где TR=p*Q; TC=TFC+TVC.

Найдём цену единицы продукции:

20p=100 – Q p=5 – Q/20.

Тогда

П=(5 – Q/20)Q – (50 + 2Q)= – Q2 + 60Q - 1000 ® max

Найдём производную: П'(Q)= –2Q+60.

Приравняем производную к нулю: –2Q+60=0 Q=30.

При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Задача №2: Объём спроса на продукцию предприятия выражается формулой: QD=200 – 4p, а объём предложения – QS=6p – 100. Величина переменных издержек на единицу продукции TVC=25. Чему должна быть равна цена на единицу продукции p, чтобы прибыль П была максимальной?

Решение: В точке потребительского равновесия QS=QD, то есть

6p0 – 100=200 – 4p0,

откуда p0= 30 (ден.ед.) – равновесная цена, Þ Q0=80 (ед.) – равновесный объём продукции.

Изобразим графически кривые спроса и предложения, а также точку потребительского равновесия, находящуюся на их пересечении (см. рис. 2).

Рассмотрим три возможных варианта:

1) p>p0, Þ Q=QD, то есть П=QDp – QD TVC=QD(p – TVC),

подставим значения и получим:

П=(200 – 4p)*(p – 25)= –4p2 + 300p – 5000.

2) p=p0, Þ Q=QD=QS, Þ Qпродажи=Q0=80 (ед.), Þ

П2=80*(30 – 25)=400 (ден. ед.).

3) p<p0: Þ Q= QS, то есть П=QSp – QS TVC=QS(p – TVC),

подставим значения:

П=(6p – 100)(p – 25)=6p2 – 250p + 2500.

Далее случаи (1) и (3) можно решать аналитически, подставляя различные значения цены из интервала её значений или как-либо иначе, но гораздо проще выявить экстремумы прибыли через производную:

1) П= – 4p2 + 300p – 5000

П'= – 8p + 300;

– 8p + 300=0 Þ p=75/2=37,5 (ден. ед.).

 Скачать реферат