Сущность теории игр

Таблица 2.1.

Требуется найти оптимальную смешанную стратегию руководителя и гарантированный средний результат g, т.е. определить, какую долю времени должны использоваться ЭВМ типов A1 и А2.

2.2 Описание алгоритма решения

Запишем условия в принятых обозначениях:

а11 = 0,3; а12 = 0,8; а21 = 0,7; а22 = 0,4.

Определим нижнюю и верхнюю цены игры:

a1 = 0,3; a2 = 0,4; a = 0,4; b1=0,7; b2 = 0,8; b = 0,7.

Получаем игру без седловой точки, так как

(2.1)

(2.2)

Максиминная стратегия руководителя вычислительного центра – А2.

Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен a = 0,4 (40%) по сравнению со старой системой.

Определим g, pl и р2 графическим способом (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Графическая интерпретация алгоритма решения

Алгоритм решения:

1. По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины.

2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии А1.

3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии А2.

4. Проводим прямую b11b12, соединяющую точки а11, а21.

5. Проводим прямую b21b22, соединяющую точки а12, а22.

6. Определяем ординату точки пересечения с линий b11b12 и b21b22. Она равна g.

7. Определим абсциссу точки пересечения с. Она равна р2, а р1 = l – р2.

Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:

р1 = 0,375; (2.3)

р2 = 0,625; (2.4)

g =0,55. (2.5)

Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвестны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ А1 должно приходиться 37,5% времени, а на работу ЭВМ А2 - 62,5%. При этом выигрыш составит 55% по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИГР С ПРИРОДОЙ

3.1 Постановка задачи

Рассмотрим игры с природой на примере следующей задачи. Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений.

Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома (табл. 3.1). Вероятности зим: мягкой - 0,35; обычной - 0,5; холодной - 0,15.

Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 грн. за 1 т. Есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет. (Предположение делается для упрощения постановки и решения задачи.)

Сколько угля летом покупать на зиму?

3.2 Решение задач игр с природой

Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (человек) являются различные показатели количества тонн угля, которые ему, возможно, следует купить. Состояниями природы выступают вероятности видов зимы.

Вычислим, например, показатель для холодной зимы. Игрок 1 приобрел уголь для обычной зимы 5 т по цене 6 грн. за 1 т. Для обогрева он должен закупить еще 1 тонну по цене 8 грн за 1т.

Следовательно, расчет платы за уголь будет 5 × 6 – при заготовке, и зимой 8 × 1. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях.

В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой платежную матрицу (табл. 3.2).

Таблица 3.2.

Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 3.3).

Таблица 3.3

 Скачать реферат